Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，求證：A₁C⊥BC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：連結(jié)A₁C，AC₁交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E是A₁C的中點(diǎn)．取B₁C₁的中點(diǎn)D，連結(jié)A₁D、DN，則DE∥AB₁．求證線線垂直，往往尋求線面垂直，只要證得BC₁⊥平面A₁DE即可．

解答： 證明：如圖所示，連結(jié)A₁C，AC₁交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E是A₁C的中點(diǎn)．．

取B₁C₁的中點(diǎn)D，連結(jié)A₁D、DE，則DE∥AB₁．
又AB₁⊥BC₁，
∴DE⊥BC₁，
又△A₁B₁C₁是正三角形，
∴A₁D⊥B₁C₁．
又平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁C₁C，平面A₁B₁C₁∩平面BB₁C₁C=B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．
又BC₁?平面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥A₁D．
又A₁D?平面A₁DE，DE?平面A₁DE，A₁D∩DE=D，
∴BC₁⊥平面A₁DE．
又A₁C?平面A₁DE，
∴A₁C⊥BC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)和判定，同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解的能力、以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．