Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E為直線AB上一點，過點C作直線CP平行AB，過點E作直線EN平行BC交CP于點N，交直線AC于點D，F(xiàn)為直線AC上一點，且AE=CF，連接EF、FN．
（1）如圖1，當點E、F分別在線段AB、AC上時，求證：△AEF≌△CFN．
（2）如圖2，當點E、F分別在線段AB、CA的延長線上時，
①（1）中的結(jié)論是否成立？不必寫出證明過程．
②若∠AEF=15°，EF=m，請用含m的式子表示EN的長．
（3）如圖3，當點E、F分別在線段BA、AC的延長線上時，若∠NEF=a（0°＜a＜90°），EF=n，請直接用含n，a的式子表示EN的長．

Answer 1

考點：平面圖形的直觀圖,斜二測法畫直觀圖

專題：立體幾何

分析：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，根據(jù)CP∥AB，EN∥BC，可得△DCN，△AEF也為等腰直角三角形，進而可得AF=CN，由SAS可得：△AEF≌△CFN．
（2）如圖2，當點E、F分別在線段AB、CA的延長線上時，①（1）中的結(jié)論依然成立，②進而可得EF=FN=m，又由∠AEF=15°，可得∠AEN=60°，即故△AEN為等邊三角形，故EN=m．
（3）當點E、F分別在線段BA、AC的延長線上時，△AEF≌△CFN依然成立；由EF=FN=n，∠AEF=α，可得：EN=2ncosα．

解答： 證明：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
故△ABC為等腰直角三角形，
∵CP∥AB，EN∥BC，
故△DCN，△AEF也為等腰直角三角形，
故CD=CN，AE=AD，
又∵AE=CF，
∴AF=BE=CD=CN，
故△AEF≌△CFN．
解：（2）當點E、F分別在線段AB、CA的延長線上時，
①△AEF≌△CFN依然成立；
②∵△AEF≌△CFN，
∴EF=FN=m，
又∵∠AEF=15°，
∴∠AEN=60°，
故△AEN為等邊三角形，
故EN=m．
（3）當點E、F分別在線段BA、AC的延長線上時，
△AEF≌△CFN依然成立；
∴EF=FN=n，
又∵∠AEF=α，
故EN=2ncosα．

點評：本題考查的知識點是全等三角形的證明，解三角形，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．