【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，求證為定值．

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)分析題意可得b＝1，再根據(jù)離心率的表達式和a,b,c之間的系數(shù)關系可求得標準方程

(2)將直線與橢圓方程進行聯(lián)立，利用韋達定理，再結合題意即可

(1)設橢圓的標準方程為為，

由題b＝1，.即,

∴橢圓C的方程為.

(2)方法一：設A、B、M點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F點的坐標為(2,0)．，

∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，，

將A點坐代入到橢圓方程中，得，

去分母整理得.同理，由，

可得，∴λ1，λ2是方程的兩個根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2為定值．

方法二:設A、B、M點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F點的坐標為(2,0)．顯然直線存在斜率，設直線的斜率為k，則直線的方程是y＝k(x－2)．將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. .

又,將各點坐標代入得

,

,

故λ1＋λ2為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的是（ ）

A.函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點

B.若函數(shù)，則

C.如果函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么它在上單調(diào)遞減

D.若函數(shù)的圖象關于點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)

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【題目】在正方體中，、分別為、的中點，，，如圖.

（1）若交平面于點，證明：、、三點共線；

（2）線段上是否存在點，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知在等比數(shù)列{an}中，＝2，，＝128，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{}為等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

（2）求數(shù)列{bn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如下圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是（ ）

A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B. 與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長.

C. 去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元 .

D. 2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知常數(shù)且，在數(shù)列中，首項，是其前項和，且，.

（1）設，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；

（2）設，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；

（3）若當且僅當時，數(shù)列取到最小值，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：

摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．

（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知,,點滿足，記點的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線過點且與軌跡交于、兩點.

（i）無論直線繞點怎樣轉動，在軸上總存在定點，使恒成立，求實數(shù)的值.

（ii）在（i）的條件下，求面積的最小值.

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