Question

（2013•成都一模）已知函數(shù)f（x）=

x2-x+1，x∈[1，2] 2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)

（I）解關(guān)于x的不等式_：f（x）≤1；
（II）若1≤x≤2，判斷函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，可將不等式_：f（x）≤1化為

1≤x≤2 x2-x+1≤1

或

x＜1，或x＞2 2x-1≤1

，分別解答后，綜合討論結(jié)果，可得答案．
（II）由（I）中函數(shù)的解析式，可得1≤x≤2時(shí)，函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析其單調(diào)性及極值，進(jìn)而可由零點(diǎn)存在定理，判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=

x2-x+1，x∈[1，2] 2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)

∴不等式_：f（x）≤1可化為：

1≤x≤2 x2-x+1≤1

…①或

x＜1，或x＞2 2x-1≤1

…②，
解①得x=1，解②得x＜1
綜上所述原不等式的解集為（-∞，1]
（II）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3=2x³-7x²+8x-3
∴h′（x）=6x²-14x+8=（6x-8）（x-1）
當(dāng)1＜x＜

4

3

時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)

4

3

＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=

4

3

時(shí)，h（x）取最小值-

1

27

又∵h(yuǎn)（1）=0，h（2）=1＞0
故函數(shù)h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3在區(qū)間[1，2]上有2個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，分段函數(shù)，其中（I）的關(guān)鍵是“分段函數(shù)分類討論”，（II）的關(guān)鍵是求出函數(shù)h（x）的解析式．