如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,

,,且,的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點(不與兩點重合),使得∥平面?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.

 



(Ⅰ)證明:

因為平面,平面

所以.                                  

的中點,連結(jié)

因為底面為直角梯形,,,且

所以四邊形為正方形,所以,且,

所以,即.                          

,所以平面.                     

(Ⅱ)解:如圖,以為坐標原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系

,,,

所以,,

因為平面,所以為平面的一個法向量.  

     設(shè)平面的法向量為,      

     由

     令,則,

     所以是平面的一個法向量.    

     所以

     因為二面角為銳角,     所以二面角的余弦值為.   

(Ⅲ)解:假設(shè)在線段上存在點(不與兩點重合),使得∥平面

      設(shè),則,

      設(shè)平面的法向量為,

,

,則,,

      所以是平面的一個法向量.…12分

因為∥平面,所以,即,  

解得

所以在線段上存在一點(不與兩點重合),使得∥平面,且


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