Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）；
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）＜0對(duì)x∈（0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)在曲線上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于過這點(diǎn)切線的斜率很容易求出切線方程．f（x）＜0在（0，2]恒成立，說明在（0，2]上f（x）的最大值小于0，所以就轉(zhuǎn)變成求函數(shù)的最大值了．而求函數(shù)的最大值，用的方法就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并注意討論a．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx，f′(x)=x-3+

2

x

，f'（1）=0，f（1）=-

5

2

；
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-(-

5

2

)=0(x-1)，即y=-

5

2

．
（2）由題意得[f（x）]_max＜0，f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

ax2-(2a+1)x+2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

∴①a=0時(shí)，在（0，2]上f'（x）=

2-x

x

≥0，∴f（x）在（0，2]單調(diào)遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2＜0，∴a=0符合題意．
②a＜0時(shí)，在（0，2]上f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

=

a(x- 1 a )(x-2)

x

＞0，∴f（x）在（0，2]單調(diào)遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0．
解得a＞ln2-1，∴l(xiāng)n2-1＜a＜0符合題意．
③a＞0時(shí)，若

1

a

＜2，即a＞

1

2

，則f（x）在(0，

1

a

)單調(diào)遞增，(

1

a

，2)單調(diào)遞減，∴fmax(x)=f(

1

a

)=-2-2lna＜0，∴a＞

1

2

符合題意．
若

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

，則f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0，∴0＜a≤

1

2

符合題意．
綜上得：a∈（ln2-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與過這點(diǎn)切線的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．由條件f（x）＜0，得出只要讓f（x）的最大值小于0，并注意對(duì)a的討論過程．