Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=（1-2a）x²的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)b_n=

1

2

f′（n）-n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明不等式（1+b_n） 

1

bn+1

＞e對(duì)一切正整數(shù)n均成立，并比較S₂₀₁₄-2與ln2014的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f′（x），再對(duì)k進(jìn)行奇偶數(shù)討論：①當(dāng)k 為奇數(shù)時(shí)；②當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí)，分別得出導(dǎo)數(shù)值為正或負(fù)時(shí)的x的取值集合，最后綜合即可；
（2）由題意知：x²-2lnx＞（1-2a）x²恒成立，即a＞

lnx

x2

恒成立，設(shè)h(x)=

lnx

x2

，則a＞[h（x）]_max；
（3）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f′（x）=2（x+

1

x

），要證（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即證(1+

1

n

)n+1＞e，兩邊取對(duì)數(shù)，即證ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，設(shè)1+

1

n

=t，則n=

1

t-1

(t＞1)，即證不等式lnt＞1-

1

t

(t＞1)成立．構(gòu)造函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性即可證得lnt＞1-

1

t

，最后利用累乘法即可證出S₂₀₁₄-1＜ln2014．

解答： （1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
又y′=f′(x)=2x-2(-1)k

1

x

=

2[x2-(-1)k]

x

，…（1分）
①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f′(x)=

2(x2+1)

x

，∵x∈（0，+∞），∴f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
即f'（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）…（2分）
②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f′(x)=

2(x2-1)

x

=

2(x+1)(x-1)

x

又x∈（0，+∞），∴x+1＞0
由f'（x）＞0，得x-1＞0，∴x＞1，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），
綜上所述：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）…（4分）
（2）解：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）=x²-2lnx，
由題意知：x²-2lnx＞（1-2a）x²恒成立，即a＞

lnx

x2

恒成立．
設(shè)h(x)=

lnx

x2

，則a＞[h（x）]_max…（6分）
由h′(x)=

1-2lnx

x3

=0得x=

e

，h'（x），h（x）隨x的變化情況如下表：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h'（x）	+	0	-
h（x）		極大值

∴h（x）在x=

e

處取得極大值，也為最大值，
即[h(x)]max=h(

e

)=

1

2e

，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞

1

2e

…（9分）
（3）證明：由（1）知，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f′(x)=2(x+

1

x

)，
∴bn=

1

2

f′(n)-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由已知要證(1+

1

n

)n+1＞e，兩邊取自然對(duì)數(shù)，即證ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，…（11分）
設(shè)1+

1

n

=t，則n=

1

t-1

(t＞1)，即證不等式lnt＞1-

1

t

(t＞1)成立．
構(gòu)造函數(shù)ϕ(t)=lnt+

1

t

-1(t＞1)，下面證明ϕ（t）在（1，+∞）上恒大于0．
∵t＞1，∴ϕ′(t)=

1

t

-

1

t2

＞0
∴ϕ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0
即lnt＞1-

1

t

，∴ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，∴(1+

1

n

)n+1＞e，
即(1+bn)

1

bn+1

＞e成立…（13分）
由ln

n+1

n

＞

1

n+1

，得

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)，
即S_n+1-1＜ln（n+1），當(dāng)n=2013時(shí)，S₂₀₁₄-1＜ln2014…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．