數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,Sn=
1
2
n(n+1)b1,b7=21,數(shù)列{an}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=n(n+1)(2n+1).
(1)求an
(2)Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1•an,求Tn;
(3)求證:
1
a12
+
1
a22
+…+
1
an2
1
2
考點:數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)題意和公式bn=Sn-Sn-1(n≥2)求出bn,同樣的方法求出anbn,再求出an并驗證n=1時成立;
(2)把(1)求出的an代入Tn化簡后,對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論,分別求出對應的式子,再分段表示出來;
(3)把(1)求出的an代入不等式的左邊化簡后,把分母縮小并進行裂項并逐項相消后,根據(jù)式子的特點和n的取值證明不等式成立.
解答: 解:(1)由題意得,Sn=
1
2
n(n+1)b1
,b7=21,
∴bn=Sn-Sn-1=
1
2
n(n+1)b1
-
1
2
n(n-1)b1
=nb1(n≥2),
∴{bn}為等差數(shù)列,
∵b7=7b1=21,∴b1=3,∴bn=3n,
由a1b1+a2b2+…+anbn=n(n+1)(2n+1)可得,
當n≥2時,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-1)n(2n-1)
兩個式子相減得,anbn=6n2(n≥2),
∴an=2n(n≥2),
由于a1b1=2×3=6,a1=2,
∴an=2n,
(2)由(1)得,an=2n,
Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1an,
Tn=2-4+6-8+…+(-1)n+1•2n
=2[(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1•n]
當n為奇數(shù)時,Tn=2[(-1)×
n-1
2
+n]
=n+1;
當n為偶數(shù)時,Tn=2[(-1)×
n
2
]
=-n,
Tn=
n+1,n為奇數(shù)
n,      n為偶數(shù)
,
(3)由(1)得,an=2n,
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+…+
1
a
2
n
=
1
4
(
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
)

1
4
(1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n
)

=[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]

=
1
4
(1+1-
1
n
)=
1
2
-
1
4n
1
2
點評:本題考查了等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列前n項和公式與通項公式的關(guān)系,利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和,考查了分類討論思想,以及放縮法證明不等式成立問題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
e1
,
e2
是夾角為60°的兩個單位向量,則
a
=2
e1
+
e2
b
=-3
e1
+2
e2
的夾角的正弦值是( 。
A、
3
2
B、-
1
2
C、
1
2
D、-
3
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若四點A(5,0),B(-1,0),C(a,2),D(3,-2)共圓,則正實數(shù)a=(  )
A、2B、3C、4D、5

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=an+ln(1+
1
n
)(n∈N*),求an

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC為正三角形,AA1=AB=6,D為AC的中點.
(1)求證:直線AB1∥平面BC1D;
(2)求證:平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)求三棱錐C-BC1D的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*),f′(x)表示f(x)的導函數(shù).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當k為偶數(shù)時,若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)=(1-2a)x2的上方,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當k為奇數(shù)時,設bn=
1
2
f′(n)-n,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,證明不等式(1+bn 
1
bn+1
>e對一切正整數(shù)n均成立,并比較S2014-2與ln2014的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1⊥平面ABC,點D,D1分別是AB,A1B1的中點.
(1)求證:平面AC1D1∥平面CDB1;
(2)求證:平面CDB1⊥平面ABB1A1
(3)若AC⊥BC,AC=AA1,求異面直線AC1與A1B所成的角.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦點,點P在橢圓上,△POF2是面積
3
的正三角形,求b2的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,多面體ABCDS中,四邊形ABCD為矩形,SD⊥AD,SD⊥AB,且AB=2AD=2,M,N分別為AB,CD中點.
(1)求異面直線SM,AN所成的角;
(2)若二面角A-SC-D大小為60°,求SD的長.

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