考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定
專題:綜合題,空間位置關系與距離
分析:(1)連接B1C交BC1于點O,連接OD,則點O為B1C的中點.可得DO為△AB1C中位線,A1B∥OD,結(jié)合線面平行的判定定理,得A1B∥平面BC1D;
(2)由AA1⊥底面ABC,得AA1⊥BD.正三角形ABC中,中線BD⊥AC,結(jié)合線面垂直的判定定理,得BD⊥平面ACC1A1,最后由面面垂直的判定定理,證出平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)利用等體積轉(zhuǎn)換,即可求三棱錐C-BC1D的體積.
解答:
(1)證明:連接B
1C交BC
1于點O,連接OD,則點O為B
1C的中點.
∵D為AC中點,得DO為△AB
1C中位線,
∴A
1B∥OD.
∵OD?平面AB
1C,A
1B?平面AB
1C,
∴直線AB
1∥平面BC
1D;
(2)證明:∵AA
1⊥底面ABC,
∴AA
1⊥BD,
∵底面ABC正三角形,D是AC的中點
∴BD⊥AC
∵AA
1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC
1A
1,
∵BD?平面BC
1D,∴平面BC
1D⊥平面ACC
1A;
(3)解:由(2)知,△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3
,
∴S
△BCD=
×3×3=
,
∴V
C-BC1D=V
C1-BCD=
•
•6=9
.
點評:本題給出直三棱柱,求證線面平行、面面垂直并探索三棱錐的體積,著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì),考查了錐體體積公式的應用,屬于中檔題.