Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA₁=AB=6，D為AC的中點．
（1）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點．可得DO為△AB₁C中位線，A₁B∥OD，結(jié)合線面平行的判定定理，得A₁B∥平面BC₁D；
（2）由AA₁⊥底面ABC，得AA₁⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC₁A₁，最后由面面垂直的判定定理，證出平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C-BC₁D的體積．

解答： （1）證明：連接B₁C交BC₁于點O，連接OD，則點O為B₁C的中點．
∵D為AC中點，得DO為△AB₁C中位線，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面AB₁C，A₁B?平面AB₁C，
∴直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）證明：∵AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中點
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3

3

，
∴S_△BCD=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

，
∴V_C-BC1D=V_C1-BCD=

1

3

•

9 3

2

•6=9

3

．

點評：本題給出直三棱柱，求證線面平行、面面垂直并探索三棱錐的體積，著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了錐體體積公式的應用，屬于中檔題．