Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=PD=

6

，AP=4AF．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）如果在線段PB上有一點(diǎn)M，且BM=

1

3

BP，求二面角M-DF-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件得PO⊥AC，PO⊥BD，從而得到PO⊥底面ABCD，由此能證明平面PAC⊥平面ABCD．
（2）由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角M-DF-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
∴O為AC，BD中點(diǎn)，又∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∴PO⊥底面ABCD，
又PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．
（2）解：由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，
又由（1）知PO⊥AC，PO⊥BD．
如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
由△PAC是邊長為2的等邊三角形，
PO=

3

，PB=PD=

6

，BO=OD=

3

，
∴A（1，0，0），C（-1，0，0），B（0，

3

，0），
P（0，0，

3

），∴

OB

=(0，

3

，0)，

CP

=(1，0，

3

)，

AP

=(-1，0，

3

)，
由已知得

OF

=

OA

+

1

4

AP

=(

3

4

，0，

3

4

)，
設(shè)平面BDF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • OB = 3 y =0 n • OF = 3 4 x+ 3 4 z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，-

3

），
M（0，

2 3

3

，

3

3

），

DM

=(0，

5 3

3

，

3

3

)，

DF

=(

3

4

，

3

，

3

4

)，
設(shè)平面MDF的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • DM = 5 3 3 a+ 3 3 c=0 m • DF = 3 4 a+ 3 b+ 3 4 c=0

，
取b=-1，得

m

=(-

3

3

，-1，5)，
設(shè)二面角M-DF-B的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

- 3 3 +5 3

4 • 1 3 +26

=

8 79

79

，
∴二面角M-DF-B的余弦值為

8 79

79

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角和余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．