Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由此能證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）求出平面EFD的一個(gè)法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F-DE-B的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1．…..…（1分）
連結(jié)AC，AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG．
依題意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0，

1

2

，

1

2

)．
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

1

2

，

1

2

，0)，且

PA

=(1，0，-1)，

EG

=(

1

2

，0，-

1

2

)．
所以

PA

=2

EG

，即PA∥EG，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
因此PA∥平面EDB．…（5分）
（Ⅱ）解：B(1，1，0)，

PB

=(1，1，-1)，
又

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，
故

PB

•

DE

=0，所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．…（7分）
所以平面EFD的一個(gè)法向量為

PB

=(1，1，-1)．

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

DB

=(1，1，0)，
設(shè)平面DEB的法向量為

a

=(x，y，z)
則

a • DE = 1 2 (y+z)=0 a • DB =x+y=0

不妨取x=1則y=-1，z=1，即

a

=(1，-1，1)…（10分）
設(shè)求二面角F-DE-B的平面角為θcosθ=

a • PB

| a || PB |

=-

1

3

，
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以sinθ=

2 2

3

．
二面角F-DE-B的正弦值大小為

2 2

3

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．