在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若點E在線段PC上,且PC=3PE,求三棱錐P-BDE的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)利用勾股定理證明CB⊥BD,由線面垂直的性質(zhì)證出CB⊥PD,再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可;
(Ⅱ)利用轉(zhuǎn)換底面的方法,可求三棱錐E-BCD的體積.
解答: (Ⅰ)證明:在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD=1,∴BD=
2
,BC2=(CD-AB)2+AD2=2,
在△CBD中,由勾股定理的逆定理知,△CBD是直角三角形,且CB⊥BD,…(2分)
又PD⊥底面ABCD,∴CB⊥PD,…(4分)
∵PD⊥BC,BC⊥BD,BD∩PD=D,∴BC⊥平面PBD.…(6分)
(Ⅱ)解:S△PDC=
1
2
×2×1=1
,…(8分)
∵PC=3PE,∴S△PDE=
1
3
S△PDC=
1
3
,…(10分)
VP-BDE=VB-PDE=
1
3
×AD×S△PDE=
1
9
.…(12分)
點評:本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,考查三棱錐體積的計算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度中等.
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若四點A(5,0),B(-1,0),C(a,2),D(3,-2)共圓,則正實數(shù)a=( 。
A、2B、3C、4D、5

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如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1⊥平面ABC,點D,D1分別是AB,A1B1的中點.
(1)求證:平面AC1D1∥平面CDB1;
(2)求證:平面CDB1⊥平面ABB1A1
(3)若AC⊥BC,AC=AA1,求異面直線AC1與A1B所成的角.

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如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦點,點P在橢圓上,△POF2是面積
3
的正三角形,求b2的值.

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已知直線l:kx-y+1=0,圓C:x2+y2-2x=0
(1)若直線l平行于直線x-ky+2=0,求k的值.
(2)若直線l和圓C相切,求k的值.

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已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,E是側(cè)棱PC上的動點.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積.
(Ⅱ)若點E為PC的中點,AC∩BD=O,求證:EO∥平面PAD;
(Ⅲ)是否不論點E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(Ⅰ)求證:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)求二面角F-DE-B的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,多面體ABCDS中,四邊形ABCD為矩形,SD⊥AD,SD⊥AB,且AB=2AD=2,M,N分別為AB,CD中點.
(1)求異面直線SM,AN所成的角;
(2)若二面角A-SC-D大小為60°,求SD的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某個體服裝店經(jīng)營某種服裝,在某周內(nèi)獲純利y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系如下表
x3456789
y66697381899091
(1)求
.
x
,
y

(2)畫出散點圖
(3)求純利y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸方程
(4)若該周內(nèi)某天銷售服裝20件,估計可獲純利多少元?

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