Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅱ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，AC∩BD=O，求證：EO∥平面PAD；
（Ⅲ）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，一條側(cè)棱與底面垂直，由這條側(cè)棱長(zhǎng)是2知四棱錐的高是2，求四棱錐的體積只要知道底面大小和高，就可以得到結(jié)果．
（Ⅱ）利用三角形中位線的性質(zhì)證明OE∥PA，由線面平行的判定定理可證EO∥平面PAD；
（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，證明BD⊥平面PAC即可．

解答： （Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）
∴V_P-ABCD=

1

3

S_?ABCD•PC=

2

3

．…（3分）
（Ⅱ）證明：∵E、O分別為PC、BD中點(diǎn)
∴EO∥PA，…（4分）
又EO?平面PAD，PA?平面PAD．…（6分）
∴EO∥平面PAD．…（7分）
（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）
證明如下：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，…（9分）
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，…（10分）
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，…（11分）
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求幾何體的體積，考查線面平行、線面垂直的判定，本題解題的關(guān)鍵是看清四棱錐中存在一條和底面垂直的側(cè)棱，這是求體積的關(guān)鍵．