Question

7．已知圓C：x²+y²=5．
（1）求直線y=x+2被圓C截得的弦長(zhǎng)；
（2）求過點(diǎn)$N（\begin{array}{l}{1，}3\end{array}）$的圓的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C到直線y=x+2的距離，利用勾股定理求直線y=x+2被圓C截得的弦長(zhǎng)；
（2）設(shè)所求的切線方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，由$d=\sqrt{5}=\frac{{|{3-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，整理得2k²+3k-2=0，求出k，即可求過點(diǎn)$N（\begin{array}{l}{1，}3\end{array}）$的圓的切線方程．

解答 解：（1）圓心C（0，0），半徑$r=\sqrt{5}$，…（2分）
圓心C到直線y=x+2的距離$d=\sqrt{2}$，弦長(zhǎng)$|{AB}|=2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3}$．…（4分）
（2）設(shè)所求的切線方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
由$d=\sqrt{5}=\frac{{|{3-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，整理得2k²+3k-2=0，解得k₁=-2，${k_2}=\frac{1}{2}$，
兩條直線方程為2x+y-5=0，x-2y+5=0． …（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．