Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}（n∈{N^*}）$，若a₁=1，a_n+1=2S_n+1，則S₄=40．

Answer 1

分析 由題意可知：（S_n+1-S_n）=2S_n+1，S_n+1=3S_n+1，即S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），$\{{S_n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，當(dāng)n=4，代入即可求得S₄的值．

解答 解：由題意得，由a_n+1=2S_n+1，則（S_n+1-S_n）=2S_n+1，整理得：S_n+1=3S_n+1，
∴S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），
∴$\{{S_n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知：S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
S₄=$\frac{3}{2}$•3³-$\frac{1}{2}$=40，
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查利用構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．