7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為${S_n}(n∈{N^*})$,若a1=1,an+1=2Sn+1,則S4=40.

分析 由題意可知:(Sn+1-Sn)=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,即Sn+1+$\frac{1}{2}$=3(Sn+$\frac{1}{2}$),$\{{S_n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得Sn+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3n-1,當(dāng)n=4,代入即可求得S4的值.

解答 解:由題意得,由an+1=2Sn+1,則(Sn+1-Sn)=2Sn+1,整理得:Sn+1=3Sn+1,
∴Sn+1+$\frac{1}{2}$=3(Sn+$\frac{1}{2}$),
∴$\{{S_n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知:Sn+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3n-1,
S4=$\frac{3}{2}$•33-$\frac{1}{2}$=40,
故答案為:40.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查利用構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知A,B,C三點(diǎn)在球O的球面上,AB=BC=CA=3,且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的$\frac{1}{3}$,則球O的表面積為( 。
A.36πB.C.$\frac{27}{4}$πD.$\frac{27}{2}$π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意正整數(shù)n,都有${S_n}=\frac{n(n+1)}{2}$;
(1)試證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)如果等比數(shù)列{an}共有2017項(xiàng),其首項(xiàng)與公比均為2,在數(shù)列{an}的每相鄰兩項(xiàng)ai與ai+1之間插入i個(gè)(-1)ibi(i∈N*)后,得到一個(gè)新數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}中所有項(xiàng)的和;
(3)如果存在n∈N*,使不等式$(n+1)({b_n}+\frac{8}{b_n})≤(n+1)λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立,若存在,求實(shí)數(shù)λ的范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.如圖,橢圓x2+$\frac{y^2}{4}$=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,雙曲線Γ以A、B為頂點(diǎn),焦距
為2$\sqrt{5}$,點(diǎn)P是Γ上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,線段AQ的中點(diǎn)為M,記直線AP的斜率為k,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線Γ的方程;
(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍;
(3)是否存在定直線l,使得直線BP與直線OM關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在,求直線l方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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2.解不等式($\frac{1}{2}$)x-x+$\frac{1}{2}$>0時(shí),可構(gòu)造函數(shù)f(x)=($\frac{1}{2}$)x-x,由f(x)在x∈R是減函數(shù),及f(x)>f(1),可得x<1.用類似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集為( 。
A.(0,1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.(-1,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.函數(shù)$f(x)=\frac{{{{(x+3)}^0}}}{{\sqrt{|x|-x}}}$的定義域是(-∞,-3)∪(-3,0).

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5.已知點(diǎn)A(1,0),B(4,0),圓C:(x-a)2+(y-a)2=1,若圓C上存在點(diǎn)M,使|MB|=2|MA|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

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A.3B.-2C.-2或3D.1或-2

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