Question

（本小題滿分14分）

已知數列滿足：其中

（1）當時，求的通項公式；

（2）在（1）的條件下，若數列中，且求證：對于恒成立；

（3）對于設的前項和為，試比較與的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）＜．

【解析】

試題分析：(I) 當時,可求出從而可得即因而可確定是首項為公比為的等比數列,據此求出其通項公式；

（II）先求出當時，

,

因為b₁=1也滿足上式，因而當時，

然后根據,從得可求出.

(3) 由得：

　

即

從而得到是首項為公比為的等比數列，故,

然后可得　　

＝,

通過分組求和即可求出S_n,到此問題基本得以解決.

（1）當時，

即分

故數列是首項為公比為的等比數列．

故數列的通項公式為　………………………4分

（2）由（1）得，當時，有

…………………6分

也滿足上式，故當時，

，

即…………………………8分

（3）解法一：由得：

　

即

是首項為公比為的等比數列，故………………9分

　�。�

　　＝………………………11分

因此，－＝－

＝

＝

＝

＜．……………………14分

解法二：同解法一得 ……………………9分

……………………11分

　　＝

　

＜．…………………14分(其他解法酌情給分)

考點：三角函數的倍角公式，等比數列的定義，通項公式及前n項和公式，三角函數的值域，分組求和，作差比較法判定兩個數的大小.

點評：（1）等差等比數列的定義是判定一個數列是否是等差或等比數列的依據，要勿必掌握.（2）三角函數公式的變形也是解決本題的基礎，因此要熟記常見的變形公式如：

，還有等.

（3）在比較兩個數或式子大小不易直接比較時，作差比較法是常用也是很有效的方法之一.