Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y²＝4x的焦點F交拋物線于A、B兩點．
(1) 若=8，求直線l的斜率
(2)若=m,=n.求證為定值

Answer 1

（1）k=1或-1（2）="1"

分析：
（1）求出拋物線的焦點坐標，準線方程，設(shè)直線l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，利用韋達定理及拋物線的定義，即可求直線l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1，表示出1/m+1/n。利用韋達定理代入化簡即可得出結(jié)論。
解答：
（1）解：拋物線的焦點坐標為（1，0），準線方程為：x=-1
設(shè)直線l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k²+4/ k²，x₁x₂=1
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8
∴2k²+4/ k²=6，∴k²=1
∴k=1或-1。
（2）證明：由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1。
∴1/m+1/n=（1/ x₁+1）+（1/ x₂+1）=（x₁+1+x₂+1）/[(x₁+1)(x₂+1)]= （x₁+x₂+2）/[(x₁+x₂)+x₁x₂+1]
∵x₁+x₂=2k²+4/ k²，x₁x₂=1
∴（x₁+x₂+2）/[(x₁+x₂)+x₁x₂+1]=1
∴1/m+1/n=1，為定值。
點評：本題重點考查拋物線的標準方程，考查拋物線過焦點的弦，利用拋物線的定義，正確運用韋達定理是解題的關(guān)鍵。