Question

若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：對(duì)于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（d為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{b_n}是公差為d的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．
（Ⅰ）若c₁=3，c₂=17，{c_n}是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求{c_n}的前15項(xiàng)之和；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=a，對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
①求證：數(shù)列{a_n}為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
②設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得S_2k，S_2k+1，S_2k+2成等比數(shù)列（k∈N^*）？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式求解即可，但是注意項(xiàng)數(shù)，及首項(xiàng)，末項(xiàng)，
（Ⅱ）分類(lèi)討論求解判斷出f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為公差為2的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．
由（S_2k+1）²=S_2k-S_2k+2，則（2k²+2k+a）²=2k²•2（k+1）²，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）易得數(shù)列{c_n}前15項(xiàng)之和=

(3+59)×8

2

+

(17+65)×7

2

=535
（Ⅱ）根據(jù)題意可得f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|（f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|）．
所以f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為公差為2的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列． 
當(dāng)f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為偶數(shù)時(shí)，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|，
當(dāng)f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為奇數(shù)時(shí)，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|；
②當(dāng)f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為偶數(shù)時(shí)，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|；
當(dāng)f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|為奇數(shù)時(shí)，
f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|．                         
故當(dāng)n=2k時(shí)，S2k=2k2，S2k+1=2k2+2k+a，S2k+2=2(k+1)2，
解得a=0．
所以存在實(shí)數(shù)a=0，使得S_2k，S_2k+1，S_2k+2成等比數(shù)列（k∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于難題，思維量大，計(jì)算量大．