Question

【題目】設(shè)數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列， 為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列滿足，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）（1）利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列，列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）推導(dǎo)出bn=＝(2n－1) ，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，由此能證明Tn<6．

試題解析：

(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d>0.

因?yàn)?/span>S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3.

因?yàn)?a1，a3－1，a4＋1構(gòu)成等比數(shù)列，

所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，

所以d＝2.所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.

(2)證明：因?yàn)?/span>＝2n－1(n∈N*)，所以bn＝＝(2n－1) ，

所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×，①

所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，②

由①②兩式相減得Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化簡(jiǎn)得Tn＝6－.又因?yàn)?/span>n∈N*，所以Tn＝6－<6.

點(diǎn)睛:用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題:(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.