Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+1，
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對(duì)?x∈[-2，3]，都有s≥f（x）恒成立，求出s的范圍；
（3）?x₀∈[-2，3]，有m≥f（x₀）成立，求出m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可；
（2）由題意可得只要s≥f（x）_max即可，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）的最大值即可；
（3）由題意可得只要m≥f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值即可得出結(jié)論．

解答： 解：f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	13 6	遞減	- 7 3	遞增

因此極大值是

13

6

，極小值是-

7

3

．
（2）f（-2）=

1

3

，f（3）=-

1

2

，
因此在區(qū)間[-2，3]的最大值是

13

6

，最小值是-

7

3

，∴s≥

13

6

．
（3）由（2）得：m≥-

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題只要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及最值等知識(shí)，以及恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力，屬于中檔題．