Question

已知函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（a＞0）中，|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，證明：當0≤x≤1時，有|f（x）|≤2．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,推理和證明

分析：由于函數(shù)的對稱軸為x=

a+b

3a

，0≤x≤1，故需要進行分類討論，當

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0時，f（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，當0＜

a+b

3a

＜1時，即-a＜b＜2a，則-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．從而可證得結論．

解答： 證明：f（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a（x-

a+b

3a

）²-

a2+b2-ab

3a

（1）當

a+b

3a

≥1或

a+b

3a

≤0時，f（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
所以f（1）≤f（x）≤f（0），或f（0）≤f（x）≤f（1），且f（0）+f（1）=a＞0．
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
（2）當0＜

a+b

3a

＜1時，即-a＜b＜2a，則-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．
①當-a＜b≤

b

2

時，則0＜a+b≤

3

2

a，
所以  f（1）-

a2+b2-ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
②當

a

2

＜b＜2a時，則（b-

a

2

）（b-2a）＜0，即a²+b²-

5

2

ab＜0，
所以b-

a2+b2-ab

3a

=

4ab-a2-b2

3a

＞0，即f（0）＞

a2+b2-ab

3a

，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
綜上所述：當0≤x≤1時，所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
因為|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，
所以當0≤x≤1時，有|f（x）|≤2．

點評：本題以函數(shù)為載體，主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于零，考查二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是分類討論．