已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a＞1時(shí)，若函數(shù)h（x）=g（x）+5+
1
a
有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出方程的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求得；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，因?yàn)楹袇?shù)a，需要進(jìn)行分類討論；
（Ⅲ）函數(shù)h(x)=g(x)+5+
1
a
有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于
[h(x)]極大＞0
[h(x)]極小＜0
，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，問(wèn)題得以解決．
解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2-2x+2lnx，
∴f′(x)=2x-2+
2
x
=
2(x2-x+1)
x
，
∴k=f'（1）=2，f（1）=-1，
設(shè)切線方程為y-f（1）=k（x-1），
代入切線方程，化簡(jiǎn)得：y=2x-3；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=ax2-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x，
∴g（x）=f（x）-2x=ax2-2（a+1）x+2lnx
∴g′(x)=2ax-2(a+1)+
2
x
=
2ax2-2(a+1)x+2
x
=
2a(x-1)(x-
1
a
)
x
，（x＞0）
∵x＞0，a＞0，由(x-1)(x-
1
a
)=0⇒x1=
1
a
，x2=1，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
1
a
＞1
在區(qū)間(0，1)，(
1
a
，+∞)上g'（x）＞0，在區(qū)間(1，
1
a
)上g'（x）＜0
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，(
1
a
，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間是(1，
1
a
)，
②當(dāng)a＞1時(shí)，0＜
1
a
＜1，在區(qū)間(0，
1
a
)，(1，+∞)上g'（x）＞0，在區(qū)間(
1
a
，1)上g'（x）＜0
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，
1
a
)，(1，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間是(
1
a
，1)．
③當(dāng)a=1時(shí)，g'（x）≥0恒成立，故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
（Ⅲ）∵h(yuǎn)（x）與g（x）的單調(diào)性相同，當(dāng)a＞1，由（Ⅱ）②可知：
函數(shù)h(x)=g(x)+5+
1
a
有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于
[h(x)]極大＞0
[h(x)]極小＜0
，
又
[h(x)]極大=h(
1
a
)
[h(x)]極小=h(1)
，
∴
h(
1
a
)=3+2ln
1
a
＞0
h(1)=3+
1
a
-a＜0

∴
1＜a＜e
3
2
3+
13
2
＜a
⇒
3+
13
2
＜a＜e
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論、數(shù)形結(jié)合思想，較難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

稱子集A⊆M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}是“好子集“，它有下述性質(zhì)：若2k∈A，則2k-1∈A且2k+1∈A，（k∈Z）（空集是好子集），問(wèn)：M中有多少個(gè)包含有2個(gè)偶數(shù)的好子集？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知一條曲線C在y軸右邊，C上任一點(diǎn)到點(diǎn)F（2，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是2
（1）求曲線C的方程；
（2）一直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|+|BF|=8，求證：AB的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+（y+2）2=10，求滿足下列條件的圓的切線方程．
（1）與直線L1：x+y-4=0平行；
（2）與直線L2：x-2y+4=0垂直；
（3）過(guò)切點(diǎn)：A（4，-1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某中學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試中設(shè)置了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)內(nèi)容，成績(jī)分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)．某班考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人．

（1）求該班考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)；
（2）若等級(jí)A、B、C、D、E分別對(duì)應(yīng)5分、4分、3分、2分、1分，該考場(chǎng)共10人得分大于7分，其中2人10分，2人9分，6人8分，從這10人中隨機(jī)抽取2人，求2人成績(jī)之和ξ的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a2x=
2
+1，求
a3x+a-3x
ax+a-x
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x3-2tx+t（t∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=x平行，求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，1]，都有|f（x）|≤5成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且點(diǎn)P（
6
2
，
1
2
）在橢圓C上．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)定點(diǎn)A（-
2
，0）的直線l1交y軸于點(diǎn)Q，交曲線C于點(diǎn)R，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線l2，使得l2∥l1，且l2交曲線C于點(diǎn)S，證明：|AQ|，
2
|OS|，|AR|三個(gè)數(shù)值成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z1=cosx+i，z2=1-isinx，x∈R．
（1）求|z1-z2|的最小值；
（2）設(shè)z=z1•z2，記f（x）=Imz（Imz表示復(fù)數(shù)z的虛部）．將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象．試求函數(shù)g（x）的解析式．

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