Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上任一點到點F（2，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是2
（1）求曲線C的方程；
（2）一直線l與曲線C交于A，B兩點，且|AF|+|BF|=8，求證：AB的垂直平分線恒過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件，P到F（2，0）的距離等于到直線x=-2的距離，可得曲線C是以F為焦點、直線x=-2為準線的拋物線，從而可求曲線C的方程；
（2）由拋物線的定義，知x₁+x₂=4，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的垂直平分線與x軸交于Q（t，0），則|QA|=|QB|，由此即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由條件，P到F（2，0）的距離等于到直線x=-2的距離，
∴曲線C是以F為焦點、直線x=-2為準線的拋物線，其方程為y²=8x；
（2）∵|AF|+|BF|=8，
∴x₁+x₂=4，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的垂直平分線與x軸交于Q（t，0），∴|QA|=|QB|
即：（x₁-t）²+y₁²=（x₂-t）²+y₂²，
又y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴（x₁-t）²+8x₁=（x₂-t）²+8x₂
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t+8）=0，
∴t=6，
∴AB的垂直平分線恒過定點（6，0）．

點評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點的直線方程定點的求法，考查了綜合運用所學(xué)知識和運算的能力．