Question

9．在區(qū)間[0，2π]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)α，則該數(shù)是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)f（α）=$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$，當(dāng)α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f（α）=3；當(dāng)α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，f（α）=-1；當(dāng)α∈（$π，\frac{3π}{2}$）時(shí)，f（α）=-1；當(dāng)α∈（π，2π）時(shí)，f（α）=-1．由此能求出該數(shù)是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率．

解答 解：∵在區(qū)間[0，2π]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)α，
設(shè)f（α）=$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$，
∴當(dāng)α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f（α）=1+1+1=3；
當(dāng)α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，f（α）=1-1-1=-1；
當(dāng)α∈（$π，\frac{3π}{2}$）時(shí)，f（α）=-1-1+1=-1；
當(dāng)α∈（π，2π）時(shí)，f（α）=-1+1-1=-1．
∴該數(shù)是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率p=$\frac{2π-\frac{π}{2}}{2π-0}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)、幾何概型的合理運(yùn)用．