分析 (1)由于直線l:x=-2交x軸于點(diǎn)A,所以A(-2,0),由于P是l上一點(diǎn),M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn),且滿足∠MPO=∠AOP,可以設(shè)點(diǎn)P,由于滿足∠MPO=∠AOP,所以分析出MN∥AO,利用相關(guān)點(diǎn)法可以求出動點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)由題意及點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4(x+1),且已知T(1,-1),又H是E 上動點(diǎn),點(diǎn)O及點(diǎn)T都為定點(diǎn),利用圖形即可求出.
解答 解:(1)如圖所示,
連接OM,則|PM|=|OM|,
∵∠MPO=∠AOP,
∴動點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x的負(fù)半軸上,
設(shè)M(x,y)
①當(dāng)MP⊥l時,|MP|=|x+2|,
|OM|=√x2+y2,|x+2|=√x2+y2,
化簡得y2=4x+4 (x≥-1)
②當(dāng)M在x的負(fù)半軸上時,y=0(x≤-1),
綜上所述,點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).
(2)由題意畫出圖形如下:
∵由(1)知道動點(diǎn)M 的軌跡方程為:y2=4(x+1).
是以(-1,0)為頂點(diǎn),以O(shè)(0,0)為焦點(diǎn),以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,
由H引直線HB垂直準(zhǔn)線x=-2與B點(diǎn),則
利用拋物線的定義可以得到:|HB|=|HO|,
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價于求折線|HB|+|HT|的最小值,
由圖可知當(dāng)由點(diǎn)T直接向準(zhǔn)線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值,
故HO|+|HT|的最小值為3,且此時點(diǎn)H的坐標(biāo)為(−34,−1).
點(diǎn)評 此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程,還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時等價轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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A. | (x+1)2+(y-1)2=4 | B. | (x+1)2+(y+1)2=4 | C. | (x-1)2+(y-1)2=4 | D. | (x+1)2+(y-1)2=2 |
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A. | [12,32) | B. | [√22,32) | C. | [√24,1) | D. | [1,32) |
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