Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l:x=-2交x軸于點(diǎn)A,設(shè)p是l上一點(diǎn),M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn),且滿足∠MPO=∠AOP
(1)當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動時,求點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)已知T(1,-1),設(shè)H是E 上動點(diǎn),求|HO|+|HT|的最小值,并給出此時點(diǎn)H的坐標(biāo).

分析 (1)由于直線l:x=-2交x軸于點(diǎn)A,所以A(-2,0),由于P是l上一點(diǎn),M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn),且滿足∠MPO=∠AOP,可以設(shè)點(diǎn)P,由于滿足∠MPO=∠AOP,所以分析出MN∥AO,利用相關(guān)點(diǎn)法可以求出動點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)由題意及點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4(x+1),且已知T(1,-1),又H是E 上動點(diǎn),點(diǎn)O及點(diǎn)T都為定點(diǎn),利用圖形即可求出.

解答 解:(1)如圖所示,
連接OM,則|PM|=|OM|,
∵∠MPO=∠AOP,
∴動點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x的負(fù)半軸上,
設(shè)M(x,y)
①當(dāng)MP⊥l時,|MP|=|x+2|,
|OM|=x2+y2,|x+2|=x2+y2,
化簡得y2=4x+4  (x≥-1)
②當(dāng)M在x的負(fù)半軸上時,y=0(x≤-1),
綜上所述,點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).
(2)由題意畫出圖形如下:
∵由(1)知道動點(diǎn)M 的軌跡方程為:y2=4(x+1).
是以(-1,0)為頂點(diǎn),以O(shè)(0,0)為焦點(diǎn),以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,
由H引直線HB垂直準(zhǔn)線x=-2與B點(diǎn),則
利用拋物線的定義可以得到:|HB|=|HO|,
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價于求折線|HB|+|HT|的最小值,
由圖可知當(dāng)由點(diǎn)T直接向準(zhǔn)線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值,
故HO|+|HT|的最小值為3,且此時點(diǎn)H的坐標(biāo)為341

點(diǎn)評 此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程,還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時等價轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.圓(x-1)2+(y+1)2=4關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程是( �。�
A.(x+1)2+(y-1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y-1)2=2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=2x+x,則f(x)={2xxx00x=02x+xx0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=2xx1,x∈[2,5].
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(2)求不等式f(m+1)<f(2m-1)的解集.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知f(x)={x+120x12x1x1,存在x2>x1≥0,使得f(x1)=f(x2),則x1•f(x2)的取值范圍為( �。�
A.[1232B.[22,32C.[24,1)D.[1,32

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知集合 A={x|x2-5x-6<0},集合 B={x|6x2-5x+1≥0},集合C={x|(x-m)(x-m-9)<0}.
(1)求 A∩B;
(2)若 A∪C=C,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)fx=lg2a1+x1a0.求證:函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a=1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.以下四組函數(shù):
①f(x)=cosx,g(x)=-sinx                 ②f(x)=sinx+cosx,g(x)=f′(x)
③f(x)=ax,g(x)=2•ax(其中a>0且a≠1)④f(x)=log2x,g(x)=log2(4x)
可以通過平移f(x)的圖象得到g(x)圖象的是①②③④.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.已知命題p:?x∈R,x2+(a-1)x+1>0,若命題?p為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案