Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow$=（4cosα，-4sinα），且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則θ等于$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式，即可求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$夾角的大�。�

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow$=（4cosα，-4sinα），
∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（4cosα）}^{2}{+（-4sinα）}^{2}}$=4，
又$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4；
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則θ∈[0，π]，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{4}{2×4}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．