Question

如圖，過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的動(dòng)點(diǎn)M引圓O：x²+y²=b²的兩條切線MA與MB，其中A，B分別為切點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)M，使四邊形OAMB為正方形，則該橢 圓離心率的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，由∠AMB=90°及圓的性質(zhì)，可得|OM|=

2

b，然后，得到|OM|²=2b²≤a²，從而得到離心率的取值范圍．

解答： 解：∵∠AMB=90°，
∴|OM|=

2

b，即|OM|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²，
∴e²≥

1

2

，
∴e≥

2

2

，
∵e＜1，
∴e∈[

2

2

，1）．
故答案為：[

2

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．在求離心率時(shí)關(guān)鍵是從題目條件中找到關(guān)于a，b，c的兩個(gè)方程或從題目中得到的圖形中找到a，b，c的關(guān)系式，從而求離心率或離心率的取值范圍．在處理直線與圓錐曲線的關(guān)系類問題時(shí)，一般方法及思路一般有：①聯(lián)立方程；②設(shè)而不求；③韋達(dá)定理；④弦長公式等．