Question

已知函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及取得最大值時相應的x的值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

3

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求f（β-

π

12

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為sin（2x+

π

6

），由 x∈[0，

π

2

]，求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而求得 f（x）的最大值以及最大值時相應的x的值．
（Ⅱ）利用同角三角函數的基本關系求出 sin（β-α）=

3

5

，sin（β+α）=

4

5

，再根據 f（β-

π

12

）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]，利用兩角和的正弦公式求出結果．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，∴f（x）的最大值為1，
此時，2x+

π

6

=

π

2

，x=

π

6

，故f（x）取得最大值時相應的x的值為x=

π

6

．
（Ⅱ）∵cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

3

5

，0＜α＜β≤

π

2

，∴sin（β-α）=

3

5

，sin（β+α）=

4

5

．
∴f（β-

π

12

）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]=sin（β+α）•cos（β-α）+cos（β+α）•sin（β-α）
=

4

5

×

4

5

+（-

3

5

）×

3

5

=

7

25

．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，三角函數的恒等變換及化簡求值，兩角和差的正弦公式的應用，屬于中檔題．