11.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=$\sqrt{2}$,BD⊥CD,將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是(2)(3).
(1)A′C⊥BD;
(2)∠BA′C=90°;
(3)四面體A′-BCD的體積為$\frac{1}{6}$.

分析 折疊前AB⊥AD,折疊后CD⊥平面A'BD,取BD的中點O,推導(dǎo)出A'O⊥平面BCD,OC不垂直于BD.由此能求出結(jié)果.

解答 解:∵折疊前AB=AD=1,BD=$\sqrt{2}$,即AB⊥AD,
折疊后平面A'BD⊥平面BCD,且CD⊥BD,
故CD⊥平面A'BD,取BD的中點O,∵A'B=A'D,
∴A'O⊥BD.又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,
∴A'O⊥平面BCD.
∵CD⊥BD,
∴OC不垂直于BD.假設(shè)A'C⊥BD,
∵OC為A'C在平面BCD內(nèi)的射影,
∴OC⊥BD,矛盾,∴A'C不垂直于BD,故A錯誤;
∵CD⊥BD,平面A'BD⊥平面BCD,
∴CD⊥平面A'BD,A'C在平面A'BD內(nèi)的射影為A'D.
∵A'B=A'D=1,BD=$\sqrt{2}$,
∴A'B⊥A'D,A'B⊥A'C,∴∠BA′C=90°,故(2)正確;
∵A′C與平面A'BD不垂直,故A′C與BD不垂直,故(1)錯誤;
V${\;}_{{A}^{'}-BCD}$=V${\;}_{C-{A}^{'}BD}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}^{'}BD}$•CD=$\frac{1}{6}$,故(3)正確.
故答案為:(2)(3).

點評 本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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