Question

【題目】已知函數f（x）＝ax2+ax﹣1（a∈R）．

（Ⅰ）當a＝1時，求f（x）＞0的解集；

（Ⅱ）對于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）求關于x的不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）{x|x或x}；（Ⅱ）（﹣4，0]；（Ⅲ）答案不唯一，詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）將a＝1代入，解一元二次不等式即可求解.

（Ⅱ）討論a＝0或，根據二次函數的圖象與性質即可求解.

（Ⅲ）討論的取值，根據含參的一元二次不等式的解法即可求解.

（Ⅰ）當a＝1時，f（x）＝x2+x﹣1＞0，

解得x或x．

∴f（x）＞0的解集為{x|x或x}．

（Ⅱ）∵f（x）＝ax2+ax﹣1（a∈R）．

對于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，

∴a＝0或，

解得﹣4＜a≤0，

∴a的取值范圍是（﹣4，0]．

（Ⅲ）（i）a＝0時，f（x）＝﹣1＜0，

不等式的解集是R，

（ii）a＞0時，f（x）＝ax2+ax﹣1，

△＝a2+4a＞0，令f′（x）＝0，

解得：x，

故f（x）＜0的解集是：（，），

（iii）a＜0時，△＝a2+4a，

①a＜﹣4時，△＞0，

令f（x）＝0，解得：x，

故f（x）＜0的解集是：（﹣∞，）∪（，+∞），

②a＝﹣4時，△＝0，f（x）＜0的解集是{x|x}，

③﹣4＜a＜0時，△＜0，

f（x）＜0的解集是R．