Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)是左焦點(diǎn)，A、B分別是虛軸上、下兩端，C是它的左頂點(diǎn)，直線AC與直線FB相交于點(diǎn)D，若雙曲線的離心率為

2

，則∠BDA的余弦值等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2 3 - 6

  6

• C、

  1

  2

• D、

  3 - 2

  4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)離心率為

2

，得到雙曲線是等軸雙曲線，然后求出相應(yīng)直線的傾斜角，利用兩角和的余弦公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵雙曲線的離心率為

2

，
∴雙曲線是等軸雙曲線，即a=b，c=

2

a，
由題意得A（0，b），B（0，-b），C（-a，0），F(xiàn)（-c，0），
即A（0，a），B（0，-a），C（-a，0），F(xiàn)（-

2

a，0），
則直線AC的方程為

x

-a

+

y

a

=1，即-x+y=a，
則AC的斜率為1，即∠FCD=∠ACx=

π

4

，
∵OF=c=

2

a，OB=b=a，
∴BF=

3

a，
則sin∠OFB=

a

3 a

=

3

3

，cos∠OFB=

2 a

3 a

=

6

3

，
則cos∠BDA=cos（∠OFB+

π

4

）=

2

2

（cos∠OFB-sin∠OFB）
=

2

2

×(

6

3

-

3

3

)=

2 3 - 6

6

，
故選：B

點(diǎn)評：本題主要考查考查三角函數(shù)兩角和的余弦公式的應(yīng)用，根據(jù)條件確定雙曲線是等軸雙曲線是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．