已知中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F₁（-1，0）的橢圓C₁的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)₁到直線AB的距離為

7

7

|OB|．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若橢圓C₁方程為：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），橢圓C₂方程為：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C₂是橢圓C₁的λ倍相似橢圓．已知C₂是橢圓C₁的3倍相似橢圓，若直線y=kx+b與兩橢圓C₁、C₂交于四點(diǎn)（依次為P、Q、R、S），且

PS

+

RS

=2

QS

，試求動點(diǎn)E（k，b）的軌跡方程．

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷函f（x）的單調(diào)性，并說明理由：
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，離心率為

6

3

，若不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且

AP

•

AQ

=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AP的斜率為1，求直線PQ的方程；
（3）求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo)．

已知圓C：x²+y²=3的半徑等于橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y=x-

6

的距離為

3

-

2

2

，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

若a＞b＞0，m＞0，求證：

a+m

b+m

＞

a

b

．

為了讓學(xué)生了解更多“奧運(yùn)會”知識，某中學(xué)舉行了一次“奧運(yùn)知識競賽”，共有800名學(xué)生參加了這次競賽．為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計．請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表，解答下列問題：

分組	頻數(shù)	頻率
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	18	0.36
90.5～100.5
合計

（1）若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個樣本，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)地編號為000，001，002，…，799，試寫出第二組第一位學(xué)生的編號；
（2）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內(nèi)），并作出頻率分布直方圖；
（3）若成績在85.5～95.5分的學(xué)生為二等獎，問參賽學(xué)生中獲得二等獎的學(xué)生約為多少人？

2014年巴西世界杯的周邊商品有80%左右為“中國制造”，所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮．甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175，且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面ACE
（2）求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

已知正方形ABCD的邊長為1，若點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則

DE

•

DC

的最大值為．

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，S₃=12，且滿足a₃-a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足2a_n+1-a_n=2ⁿb_nS_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．