如圖，點A，B分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，圓B：（x一2）²十y²=9經(jīng)過橢圓E的左焦點F₁．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過A作直線l與y軸交于點Q，與橢圓E交于點P（異于A）．
（i）求

F1Q

•

BP

的取值范圍；
（ii）是否存在定圓r，使得以P為圓心，PF₁為半徑的圓始終內(nèi)切于圓r，若存在，求出圓r的方程；若不存在，說明理由．

如圖，過圓E外一點A作一條直線與圓E交于B，C兩點，且AB=

1

3

AC，作直線AF與圓E相切于點F，連結(jié)EF交BC于點D，已知圓E的半徑為2，∠EBC=30°
（1）求AF的長；
（2）求證：AD=3ED．

如圖，三棱錐P-ABC中，AB=AC=2

10

，BC=4，PC=2

11

，點P在平面ABC內(nèi)的射影恰為△ABC的重心G，M為側(cè)棱AP上一動點．
（1）求證：平面PAG⊥平面BCM；
（2）當M為AP的中點時，求直線BM與平面PBC所成角的正弦值．

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），定點M（0，5），直線l：y=

p

2

與y軸交于點F，O為原點，若以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點M作直線交拋物線C于A，B兩點，連AF，BF延長交拋物線分別于A′，B′，求證：拋物線C分別過A′，B′兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動．

設(shè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{a_n}與公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{b_n}有如下關(guān)系：a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅．
（Ⅰ）比較a₁₅與b₇的大小關(guān)系，并給出證明．
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n，使得a_n=b_m？若存在，求出m，n之間所滿足的關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為3

2

，其中一條漸近線的方程為x-

2

y=0．以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點O的動直線與橢圓E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓的左頂點，

PG

=2

GO

，求|

GA

|2+|

GB

|2的取值范圍；
（Ⅲ）若點P滿足|PA|=|PB|，求證

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

為定值．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心事為

2

2

，過其右焦點F₂作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于A、B兩點，與拋物線y²=4x交于C、D兩點，且

AB

=

2

2

CD

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓E相交于G、H兩點，設(shè)P為橢圓E上一點，且滿足

OG

+

OH

=t

OP

（O為坐標原點），當|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

求函數(shù)y=（

1

4

）^x+（

1

2

）^x+1的值域．

天府新區(qū)的戰(zhàn)略定位是以城鄉(xiāng)一體化、全面現(xiàn)代化、充分引進國際化為引領(lǐng)，并以現(xiàn)代制造業(yè)為主，高端服務(wù)業(yè)集聚，宜業(yè)宜商宜居的國際化現(xiàn)代新城區(qū)，為引進優(yōu)秀廠家，某企業(yè)對16家廠家根據(jù)地域分為兩組，分別由A、B兩組評委對各項指標進行綜合評比打分，兩個組隊對16家廠家評比最后綜合得分的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，若某廠家總和得分高于16家廠家的平均分則確定為優(yōu)秀廠家．
（Ⅰ）若在確定為優(yōu)秀廠家的廠家中隨機抽取2家進行復查，求抽取的2家進行復查的分別是A、B組評定出的優(yōu)秀廠家各1個的概率；
（Ⅱ）若從A、B兩組評定出確定為優(yōu)秀廠家中隨機選取3家人戶，記選取的3家來自B組評定出的優(yōu)秀廠家數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

已知點P（2，0）及橢圓C：x²+16y²=16．
（Ⅰ）過點P的直線l₁與橢圓交于M、N兩點，且|MN|=

3

，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線kx-y+1=0與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k，使得過點P的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．