【題目】對(duì)于正整數(shù)，若存在1，2，…，的一個(gè)排列滿足

（），則稱為“循球數(shù)”.證明：

（1）9、11都是循環(huán)數(shù)；

（2）為循環(huán)數(shù)的一個(gè)必要不充分條件是為質(zhì)數(shù).

【題目】已知若干個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其棱長(zhǎng)均為不大于正奇數(shù)的正整數(shù)（允許三棱長(zhǎng)相同），且盒壁厚度忽略不計(jì)，每個(gè)盒子的三組對(duì)面分別染為紅、藍(lán)、黃三色，若沒有一個(gè)盒子能以同色面平行的方式裝入另一個(gè)盒子中，則稱這些盒子是“和諧的”，求最多有多少個(gè)和諧盒子？

【題目】已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.

C.D.

（1）新數(shù)的位數(shù)；

（2）新數(shù)被11除的余數(shù)。

（1）每個(gè)人至少認(rèn)識(shí)其中的671個(gè)人；

（2）對(duì)于其中任意兩個(gè)人、，若、相互不認(rèn)識(shí)，則總可以通過其他人間接認(rèn)識(shí)，即存在，使得認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)；

（3）不可以將2012位學(xué)者排成一排，使得相鄰的兩個(gè)人相互認(rèn)識(shí).

證明：可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認(rèn)識(shí)，另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識(shí).

【題目】為鼓勵(lì)應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，國(guó)家對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)貸款有貼息優(yōu)惠政策，現(xiàn)有應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生甲貸款開小型超市，初期投入為72萬元，經(jīng)營(yíng)后每年的總收入為50萬元，該公司第年需要付出的超市維護(hù)和工人工資等費(fèi)用為萬元，已知為等差數(shù)列，相關(guān)信息如圖所示.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）該超市第幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）

（Ⅲ）該超市經(jīng)營(yíng)多少年，其年平均獲利最大？最大值是多少？（年平均獲利）

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

【題目】一只蒼蠅和只蜘蛛被放置在方格表的一些交點(diǎn)處.一次操作包括以下步驟：首先，蒼蠅移動(dòng)到相鄰的交點(diǎn)處或者原地不動(dòng)，然后，每只蜘蛛移動(dòng)到相鄰交點(diǎn)處或者原地不動(dòng)（同一交點(diǎn)可以同時(shí)停留多只蜘蛛）.假設(shè)每只蜘蛛和蒼蠅總是知道其他蜘蛛和蒼蠅的位置.

（1）找出最小的正整數(shù)，使得在有限次操作內(nèi)，蜘蛛能夠抓住蒼蠅，且與其初始位置無關(guān)；

（2）在的空間三維方格中，（1）中的結(jié)論又是怎樣？

（注）題中相鄰是指一個(gè)交點(diǎn)僅有一個(gè)坐標(biāo)與另一個(gè)交點(diǎn)的同一坐標(biāo)不同，且差值為1；題中抓住是指蜘蛛和蒼蠅位于同一交點(diǎn).

【題目】設(shè)、為正整數(shù)，表示的所有正約數(shù)的次方之和.證明：對(duì)于任意，存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使得.