Question

2．如圖甲、乙為宇宙空間存在的兩種三星系統(tǒng)，這樣的三星系統(tǒng)均離其它恒星較遠(yuǎn)，甲圖中三個(gè)星的質(zhì)量均為m，三個(gè)星的連線構(gòu)成正三角形，三角形在圖中所示的圓周上運(yùn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圖乙中D、E的質(zhì)量也為m，D、E分別在其它兩個(gè)星的引力作用下繞圖中所示的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)星在D、E做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心上．
（1）試證明甲圖所示的系統(tǒng)中，每個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T的平方與軌道半徑R的三次方的比值由星體本身的質(zhì)量決定；
（2）若兩個(gè)系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，周期也相同，則F星的質(zhì)量為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，圖中每顆星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由另外兩顆星對其萬有引力的合力提供，據(jù)合成求解．
（2）D、E圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由彼此間的引力與F對其引力的合力提供，根據(jù)合求關(guān)系求解F的質(zhì)量．

解答 解：（1）第一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，

令圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，兩星間的距離L=2Rcos30°=$\sqrt{3}R$由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$2•G\frac{mm}{（\sqrt{3}R）^{2}}•cos30°=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}$，即比值由恒星的質(zhì)量決定．
（2）令F的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mm}{（2R）^{2}}+G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
整理得：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}=\frac{16{π}^{2}}{G（m+4M）}$
由（1）分析可得$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}=\frac{16{π}^{2}}{G（m+4M）}$
可得M=$\frac{4-\sqrt{3}}{4}m$
答：（1）每個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T的平方與軌道半徑R的三次方的比值為$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}$，由m決定；
（2）若兩個(gè)系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，周期也相同，則F星的質(zhì)量為$\frac{4-\sqrt{3}}{4}m$．

點(diǎn)評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．