Question

2．一宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面上沿豎直方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落回拋出點(diǎn)．已知該星球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）該星球的質(zhì)量；
（2）該星球得密度；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式可以求出重力加速度，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力可以求出星球的質(zhì)量．
（2）運(yùn)用豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出星球表面重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解天體質(zhì)量，從而算出星球的密度．
（3）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬(wàn)有引力，聯(lián)立方程即可求出該星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，
解得，星球表面的重力加速度：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$，
星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得星球質(zhì)量：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）星球密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$；
（3）衛(wèi)星繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)，重力（萬(wàn)有引力）提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
答：（1）該星球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）該星球得密度為$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$；
（3）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其向心力由引力提供．