Question

18．如圖所示，在y軸右側(cè)平面內(nèi)存在垂直xoy平面向里的勻強磁場，磁感應強度B=0.5T．坐標原點O有一放射源，可以連續(xù)不斷地向y軸右側(cè)面內(nèi)沿各個方向放射出比荷$\frac{q}{m}$=4×10⁶C/kg的正離子，這些正離子的速率分別在0到2×10⁶m/s的范圍內(nèi)，不計離子的重力及它們之間的相互作用．
（1）求離子打到y(tǒng)軸上的范圍
（2）若在某時刻沿+x方向放射出各種速率的離子，求經(jīng)過t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．
（3）若從某時刻開始向y軸右側(cè)各個方向放射出各種速率的離子，求經(jīng)過t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時已進入磁場的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離子在磁場中運動的半徑公式求出離子的最大半徑，從而確定離子打到y(tǒng)軸上的范圍．
（2）粒子在磁場中運動的周期與速度無關，根據(jù)周期公式求出離子在磁場中運動的周期，求出經(jīng)過t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時離子運動軌跡對應的圓心角，通過數(shù)學極坐標的方法得出這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．
（3）作出經(jīng)過$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$時已進入磁場的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域，通過幾何關系求出已進入磁場的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

解答 解：（1）由 $Bqv=m\frac{v_m^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得R=1m                            
離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0-2m                     
（2）離子在磁場中做圓周運動的周期為 $T=\frac{2πm}{qB}=π×{10^{-6}}s$
設這些離子經(jīng)過$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$時，其軌跡所對應的圓心角為θ，
則$θ=\frac{t}{T}•2π=\frac{π}{3}$

令t時刻離子所在位置坐標為（x，y），則
x=rsinθ；y=r（1-cosθ）  
$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（0≤x≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（3）從某時刻開始向y軸右側(cè)各個方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$t=時已進入磁場的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域如圖陰影部分所示，其面積為$S=\frac{5}{12}π{R^2}+\frac{1}{6}π{R^2}-\frac{1}{2}R×\frac{{\sqrt{3}}}{2}R=（\frac{7}{12}π-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）m=1.4m$²
答：（1）離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0-2m；
（2）這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（0≤x≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（3）經(jīng)過t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時已進入磁場的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積為1.4m²．

點評 本題考查運用數(shù)學知識分析和解決物理問題的能力，采用參數(shù)方程的方法求解軌跡方程，根據(jù)幾何知識確定出離子可能出現(xiàn)的區(qū)域，難度較大．