Question

18．如圖所示，長為l的繩子下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時(shí)，繩子與豎直線夾角為60°，此時(shí)小球靜止于光滑水平桌面上．
（1）當(dāng)小球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圓錐擺運(yùn)動時(shí)，繩子的張力及小球?qū)ψ烂娴膲毫Ω鳛槎嗌伲?br />（2）當(dāng)小球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$做圓錐擺運(yùn)動時(shí)，繩子的張力及小球?qū)ψ烂娴膲毫Ω鳛槎嗌伲?

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球做圓錐擺運(yùn)動時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時(shí)小球的角速度．根據(jù)角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運(yùn)動，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．

解答 解：（1）對小球受力分析，作出力圖如圖1．
根據(jù)牛頓第二定律，得
   Tsin60°=mω²Lsin60°①
   mg=N+Tcos60°  ②
又ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$
解得：T=mg，N=$\frac{1}{2}mg$
（2）設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)角速度為ω₀，即N=0
代入①②得ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$＞ω₀，故小球離開桌面做勻速圓周運(yùn)動，則N=0此時(shí)小球的受力如圖2．設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有
  mgtanθ=mω²•Lsinθ③
   mg=Tcosθ        ④
聯(lián)立解得  T=4mg
答：
（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圓錐擺運(yùn)動時(shí)，繩子張力T=mg，桌面受到壓力N=$\frac{1}{2}mg$；
（2）當(dāng)球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$做圓錐擺運(yùn)動時(shí)，繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．

點(diǎn)評 本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關(guān)鍵，實(shí)質(zhì)是牛頓第二定律的特殊應(yīng)用．