Question

4．如圖所示的豎直直角坐標平面xoy內有兩條過原點的射線OA和OB與x軸的正半軸和負半軸都成45°角，在x軸上方∠AOB區(qū)域間分布著方向垂直紙面向外大小為B₁的勻強磁場，在x軸的下方存在著方向垂直紙面向外大小為B₂=$\frac{mv}{qL}$的勻強磁場，現(xiàn)有一質量為m，帶電量為+q的帶電粒子以速度v從位于直線OA上的P（L，L）點豎直向下射出，經過測量發(fā)現(xiàn)，此粒子每經過相同的時間T會回到P點，（不計粒子重力）
（1）求勻強磁場$\frac{B_1}{B_2}$之比；
（2）求粒子相鄰兩次經過P點的時間間隔T；
（3）若保持B₂不變，而∠AOB間的磁場方向不變，現(xiàn)從P點向下發(fā)射兩個速度在0-$\frac{v}{2}$范圍內與原來相同的帶電粒子（不計兩個粒子間的相互作用力），它們進入∠AOB間的勻強磁場后都要經過P點，求∠AOB間的磁感應強度的B'₁的大�。�
（4）請判斷：題（3）中若從P點向下發(fā)射的是一群速度在0-$\frac{v}{2}$范圍內與原來比荷相同的帶電粒子（不計粒子間的相互作用力）它們進入B₁′的勻強磁場后能否都經過P點．（不需要寫理由）

Answer 1

分析 （1）粒子從P點向下，運動過程的軌跡圖畫出來，根據對稱性，在上下兩磁場中勻速圓周運動的半徑相等
（2）求出粒子在上下磁場中的軌道半徑，圓周運動的規(guī)律求在磁場中的時間，在磁場外用勻速運動規(guī)律求時間
（3）畫出粒子運動的軌跡，通過幾何關系可知在上面磁場中圓周運動半徑是下方磁場中圓周運動半徑的2倍，粒子在下方磁場中運動半個周期，在上方磁場中運動四分之一圓周，再由半徑公式得出磁感應強度之間的關系，從而求出上方磁場的磁感應強度
（4）同（3）分析得出在$0-\frac{v}{2}$范圍的所有粒子運動只是軌道不同，運動的規(guī)律一樣，從P先向下勻速，再圓周運動半周，然后勻速，進入第一象限磁場做四分之一圓周，所以都能到P點

解答 解：（1）由P點射出的粒子先做勻速直線運動進入勻強磁場${B}_{2}^{\;}$中，設勻速圓周運動的半徑為${R}_{2}^{\;}$，
由$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$得：${R}_{2}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=L
粒子每經過相同時間T會回到P點必滿足在勻強磁場${B}_{1}^{\;}$中半徑${R}_{1}^{\;}$大小為：
$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得：${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}=L$
$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）帶電粒子在無勻強磁場運動的時間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{2L}{v}$
在勻強磁場${B}_{2}^{\;}$中運動時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{πL}{v}$
在勻強磁場${B}_{1}^{\;}$中運動時間為：${t}_{3}^{\;}=\frac{πL}{v}$
故粒子相鄰兩次經過P點的時間間隔為：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）從P點向下發(fā)射速度為${v}_{x}^{\;}$滿足范圍為$0-\frac{v}{2}$與原來相同的帶電粒子，由于保持${B}_{2}^{\;}$不變，當速度v時半徑為L，則速度為$0-\frac{v}{2}$的粒子必定經過半個周期后在x軸正半軸間返回∠AOB間磁場，如圖2所示，進入${B}_{1}^{'}$勻強磁場后都要經過P點，則在${B}_{1}^{'}$磁場中運動的半徑為${B}_{2}^{\;}$磁場中運動半徑的兩倍，即$2\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{2}^{\;}}=\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{1}^{'}}$
得：$\frac{{B}_{1}^{'}}{{B}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
即：${B}_{1}^{'}=\frac{{B}_{2}^{\;}}{2}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能
答：（1）勻強磁場$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比為$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）粒子相鄰兩次經過P點的時間間隔$T=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）∠AOB間的磁感應強度的B′₁的大小為${B}_{1}^{'}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能

點評 根據粒子在洛倫茲力作用下做圓周運動，依據幾何特性作圖時解題關鍵，本題第三問、第四問重點考查作圖能力，畫軌跡是解決這類問題的關鍵．