Question

13．如圖所示，半徑R=5$\sqrt{5}$m的大圓環(huán)豎直固定放置，O點是大圓環(huán)的圓心，O′是O點正上方一個固定點，一根長為L=5m的輕繩一端固定在O′點，另一端系一質(zhì)量m=1kg的小球，將輕繩拉至水平并將小球由位置A靜止釋放，小球運動到最低點O點時，輕繩剛好被拉斷，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）輕繩所能承受的最大拉力；
（2）小球落至大圓環(huán)上時的動能．

Answer 1

分析 （1）輕繩被拉斷前瞬間所承受的拉力最大．先根據(jù)機械能守恒定律求出小球運動到最低點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子的最大拉力；
（2）繩子斷裂后，小球做平拋運動，結(jié)合平拋運動的規(guī)律，抓住豎直位移和水平位移的關(guān)系求出運動的時間，再求出小球落到大圓環(huán)上的速度，從而求出動能．

解答 解：（1）設(shè)小球擺到O點的速度為v，小球由A到O的過程，由機械能守恒定律有：
  mgL=$\frac{1}{2}$mv²；
解得 v=10m/s
在O點由牛頓第二定律得：
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F=3mg=30N
即輕繩所能承受的最大拉力是30N．
（2）繩被拉斷后，小球做平拋運動，設(shè)平拋運動的時間為t，則小球落在大圓環(huán)上時有：
 x=vt
 y=$\frac{1}{2}$gt²
且有 x²+y²=R²
聯(lián)解并代入數(shù)據(jù)得：t=1s
小球落在大圓環(huán)上時速度為 v′=$\sqrt{{v}^{2}+（gt）^{2}}$=10$\sqrt{2}$m/s
動能 E_k=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=100J
答：
（1）輕繩所能承受的最大拉力是30N．
（2）小球落至大圓環(huán)上時的動能是100J．

點評 本題是機械能守恒定律、平拋運動和圓周運動的綜合，要知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，明確圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．