Question

8．相距L=1.5m的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌豎直放置，質(zhì)量為m₁=1kg的金屬棒ab和質(zhì)量為m₂=0.27kg的金屬棒cd均通過(guò)棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導(dǎo)軌上，如圖（a）所示，虛線上方磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，虛線下方磁場(chǎng)方向豎直向下，兩處磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．a(chǎn)b棒光滑，cd棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.75，兩棒總電阻為1.8Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．a(chǎn)b棒在方向豎直向上，大小按圖（b）所示規(guī)律變化的外力F作用下，從靜止開(kāi)始，沿導(dǎo)軌勻加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)cd棒也由靜止釋放．

（1）求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大小；
（2）已知在2s內(nèi)外力F做功26J，求這一過(guò)程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱；
（3）判斷cd棒將做怎樣的運(yùn)動(dòng)，求出cd棒達(dá)到最大速度所需的時(shí)間t₀．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到F與時(shí)間t的關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)研究圖象（b）斜率和截距的意義，即可求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大�。�
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出2s末金屬棒ab的速率和位移，根據(jù)動(dòng)能定理求出兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱．
（3）分析cd棒的運(yùn)動(dòng)情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒所受重力與滑動(dòng)摩擦力相等時(shí)，速度達(dá)到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)．
cd棒達(dá)到最大速度時(shí)重力與摩擦力平衡，而cd棒對(duì)導(dǎo)軌的壓力等于安培力，可求出電路中的電流，再由E=BLv、歐姆定律求出達(dá)到最大速度所需的時(shí)間．

解答 解：（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ab棒中的電流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于紙面向里．
經(jīng)過(guò)時(shí)間t，金屬棒ab的速率v=at
此時(shí)，回路中的感應(yīng)電流為$I=\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$
對(duì)金屬棒ab，由牛頓第二定律得F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：F=m₁a+m₁g+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}•t$
在圖線上取兩點(diǎn)：t₁=0，F(xiàn)₁=11N；t₂=2s，F(xiàn)₂=14.6N，
代入上式得a=1m/s² ，B=1.2T；
（2）在2s末金屬棒ab的速率v_t=at=2m/s
所發(fā)生的位移s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×4m$=2m，
由動(dòng)能定律得W_F-m₁gs-W_A=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}-0$
又Q=W_安
聯(lián)立以上方程，解得Q=W_F-m₁gs-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}$=（26-1×10×2-$\frac{1}{2}×1×4$）J=4J；
（3）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒所受重力與滑動(dòng)摩擦力相等時(shí)，速度達(dá)到最大；后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時(shí)，有m₂g=μF_N
又F_N=F_安′=BI_mL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$，
根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系可得：v_m=at₀
整理解得t₀=2s．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為1.2T，ab棒加速度大小為1m/s² ；
（2）已知在2s內(nèi)外力F做功26J，則這一過(guò)程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱為4J；
（3）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒所受重力與滑動(dòng)摩擦力相等時(shí)，速度達(dá)到最大；后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)．
cd棒達(dá)到最大速度所需的時(shí)間為2s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．