Question

16．如圖所示，兩根光滑水平導(dǎo)軌與一個傾角為α的金屬框架abcd連接（連接處呈圓弧形），磁感應(yīng)強度B跟框架面垂直，框架邊ab、cd長均為L，電阻均為2R，框架其余部分電阻不計，有一根質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN平行于ab放置，讓它以初速度v₀沖上框架，在到達最高點的過程中，框架邊ab發(fā)出的熱量為Q．試求：
（1）金屬棒MN剛沖上框架時ab部分的發(fā)熱功率；
（2）金屬棒MN上升的最大高度；
（3）金屬棒MN受到的最大安培力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律和電路的連接關(guān)系求出通過ab的電流，從而求出ab的發(fā)熱功率；
（2）根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)求出整個電路產(chǎn)生的總熱量，再根據(jù)能量守恒定律求最大高度；
（3）金屬棒MN沖上導(dǎo)軌后在安培力作用下做減速運動，剛沖上導(dǎo)軌時速度最大，安培力最大，由切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律和安培力公式結(jié)合求解．

解答 解：（1）金屬棒MN剛沖上框架時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：
E=BLv₀；
MN棒中感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R+{R}_{并}}=\frac{E}{2R}=\frac{BL{v}_{0}}{2R}$，
ab部分的發(fā)熱功率為：P_ab=$（\frac{I}{2}）^{2}{R}_{ab}=（\frac{BL{v}_{0}}{4R}）^{2}•2R$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{8R}$．
（2）在到達最高點的過程中，框架邊ab發(fā)出的熱量為Q，cd邊電阻和電流與ab邊相同，則cd邊產(chǎn)生的熱量也為Q，
金屬棒中電流是ab邊電流的2倍，電阻是ab邊電阻的一半，根據(jù)Q=I²R知，金屬棒中產(chǎn)生的熱量是2Q，
整個電路中產(chǎn)生的總熱量為：Q_總=4Q，
根據(jù)能量守恒定律得：mgh+4Q=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：h=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}-8Q}{2mg}$．
（3）金屬棒MN剛沖上導(dǎo)軌時速度最大，安培力最大．此時電路中總電阻為：
R_總=R+R_并=2R，
最大安培力為：F_A=BIL=B$\frac{BL{v}_{0}}{2R}L$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$，方向沿斜面向下．
答：（1）金屬棒MN剛沖上框架時ab部分的發(fā)熱功率為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{8R}$；
（2）金屬棒MN上升的最大高度為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}-8Q}{2mg}$；
（3）金屬棒MN受到的最大安培力的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$，方向沿斜面向下．

點評 對于復(fù)雜的電磁感應(yīng)問題，往往是電磁感應(yīng)、磁場、電路和力學(xué)知識的綜合應(yīng)用，要理清電路的連接方式，分辨清楚哪部分電路是電源，哪部分是外電路，能熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系．同時，要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，搞清各個部分電路功率的關(guān)系，要有解決復(fù)雜綜合題的能力．