Question

4．如圖所示，在xOy平面的第一、四象限存在勻強電場和勻強磁場，電、磁場以OM為分界線，OM與x軸正向夾角θ=45°，勻強電場的電場強度大小為E=32N/C，方向沿y軸負方向，勻強磁場的磁感應強度大小為B=0.1T，方向垂直紙面向里．在第三象限存在加速電場，一質量m=1×10^-24kg、電量q=5×10^-18C的帶正電的粒子，從靜止開始經(jīng)加速電場U加速后，從y軸上的點A（0，-4×10^-3）以沿x軸正方向的初速度v₀射出，帶電粒子第一次進入電場時的位置坐標為（4×10^-3，-4×10^-3），速度方向沿y軸正方向．
（1）求初速度v₀的大小以及加速電場的電壓U；
（2）若帶電粒子從A點出發(fā)到經(jīng)過電磁場邊界過程的總時間為3.128×10^-5s，求粒子是第幾次通過邊界OM；
（3）若帶電粒子經(jīng)過電磁場邊界OM時的速度大小為2$\sqrt{5}$×10³m/s，求粒子是第幾次通過邊界OM以及粒子在電磁場中運動的總時間．

Answer 1

分析 （1）加速電場中對粒子運用動能定理，進入磁場后做勻速圓周運動，利用洛倫茲力提供向心力結合幾何關系以及第一次進入電場時的坐標，聯(lián)立即可求出初速度v₀的大小以及加速電場的電壓U；
（2）分別求粒子第一次進入磁場中的運動時間t₁，再求其每一次經(jīng)過OM的時間，將各段的時間加和與問中的3.128×10^-5s的時間作比較分析即可判斷粒子是第幾次通過邊界OM；
（3）分析可知前三次經(jīng)過OM的速度大小均相同并且小于問中所要求的速度，第三次經(jīng)過OM邊界后粒子做類平拋運動，利用運動的合成和分解結合運動學規(guī)律，求解類平拋的時間t₄，以及再次進入磁場時的速度大小，結合第（2）問的前三次經(jīng)過OM的時間t，以及（3）問中所給的速度，比較分析即可．

解答 解：（1）帶電粒子從A點開始在磁場中做勻速圓周運動，帶電粒子第一次進入電場時的位置坐標為（4×10^-3，-4×10^-3）
根據(jù)左手定則和幾何知識可知，帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑r=4×10^-3m，運動軌跡如圖所示，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
解得：v₀=$\frac{qBr}{m}$=$\frac{0.1×5×1{0}^{-18}×4×1{0}^{-3}}{1×1{0}^{-24}}$m/s=2×10³m/s
加速電場中根據(jù)動能定理可得：qU=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$=$\frac{1×1{0}^{-24}×{（2×1{0}^{3}）}^{2}}{2×5×1{0}^{-18}}$=0.4V
（2）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$=1.256×10^-5s
有圖可知，粒子運動四分之一個圓周后豎直向上進入電場，故t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$=3.14×10^-6s
粒子在電場中先做勻減速直線運動到速度為零，然后反向做勻加速直線運動，
根據(jù)牛頓第二定律，可得粒子運動的加速度為：a=$\frac{qE}{m}$=1.6×10⁸m/s²
故在電場中運動的時間為t₂=$\frac{2{v}_{0}}{a}$=2.5×10^-5s
粒子再次進入磁場后有做四分之一圓周運動，故
t₃=t₁=3.14×10^-6s
此時粒子運動的總時間t=t₁+t₂+t₃=3.128×10^-5s
則粒子是第3次通過邊界OM
（3）粒子從P點第三次經(jīng)過電磁場邊界水平向右進入電場后做類平拋運動，
則：x=v₀t′，y=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$
位移偏向角的正切值：tanθ=$\frac{y}{x}$
聯(lián)立解得：t′=2.5×10^-5s
故v_y=at′=4×10³m/s
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{5}$×10³m/s
帶電粒子經(jīng)過點磁場邊界OM的速度大小為2$\sqrt{5}$×10³m/s，則是粒子第4次通過邊界OM，
粒子在電磁場中運動的總時間：t_總=t+t′=3.128×10^-5s+2.5×10^-5s=5.628×10^-5s
答：（1）初速度v₀的大小為2×10³m/s，加速電場的電壓U為0.4V；
（2）若帶電粒子從A點出發(fā)到經(jīng)過電磁場邊界過程的總時間為3.128×10^-3s，粒子是第3次通過邊界OM；
（3）若帶電粒子經(jīng)過電磁場邊界OM時的速度大小為2$\sqrt{5}$×10³m/s，粒子是第4次通過邊界OM，粒子在電磁場中運動的總時間為5.628×10^-5s．

點評 本題考查帶電粒子在復合場中的運動，解題關鍵是要畫出粒子軌跡過程圖，明確每一個過程粒子的運動形式，選擇合適的規(guī)律解決問題，要注意分析每一次經(jīng)過OM的速度的大小和方向，整體過程比較復雜，計算量較大，難度并不大．