Question

9．如圖所示，傾角θ=37°的固定斜面AB長L=20m，質(zhì)量為M=1kg的木塊由斜面上的中點(diǎn)C從靜止開始下滑，0.5s時(shí)被一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v₀=600m/s沿斜面向上的速度正對(duì)木塊射入并穿出，穿出時(shí)速度u=100m/s．以后每隔1.5s就有一顆子彈射入木塊，設(shè)子彈射穿木塊的時(shí)間可忽略不計(jì)，且每次射入木塊對(duì)子彈的阻力都相同．已知木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25．（g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80），求：
（1）第一顆子彈從木塊中穿出時(shí)木塊的速度大小和方向．
（2）第二顆子彈穿出木塊后，木塊上升最高點(diǎn)離斜面B點(diǎn)還有多遠(yuǎn)？
（3）在木塊從C點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二顆子彈穿出木塊后的過程中，子彈、木塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出0.5s末木塊的速度大小和方向，子彈在射出木塊的瞬間，沿斜面方向上動(dòng)量守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出第一顆子彈從木塊中穿出時(shí)的速度大小和方向．
（2）根據(jù)位移時(shí)間公式求出第一次擊中后木塊的位移，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出木塊被子彈第二次擊中時(shí)的速度以及向上運(yùn)動(dòng)的位移大小，結(jié)合斜面的長度得出有幾顆子彈可以擊中木塊．
（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能和木塊在斜面上滑行時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出產(chǎn)生的總熱量

解答 解：（1）木塊開始下滑時(shí)，由牛頓第二定律有：
Mgsinθ-μMgcosθ=Ma₁ 
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=4m/s² 
t₁=0.5s末速度大小為：v₁=a₁t₁=2m/s（方向沿斜面向下）  
設(shè)第一顆子彈穿過木塊后瞬間木塊的速度大小為v₁′，以沿斜面向上為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀-Mv₁=mu+Mv₁′
解得：v₁′=8m/s，方向沿斜面向上
（2）t₁=0.5s時(shí)木塊下滑的位移大小為：s₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=0.5m，
第一顆子彈穿過木塊后木塊沿斜面上滑時(shí)，對(duì)木塊有：
Mgsinθ+μMgcosθ=Ma₂     
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=8m/s²，方向沿斜面向下
得上滑到最高點(diǎn)的時(shí)間為：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$=1s；  
上滑位移大小為：s₂=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₂=4m，
可知木塊從C處開始運(yùn)動(dòng)到被第一顆子彈擊中再上升至最高點(diǎn)的總位移為：
L₁=s₂-s₁=3.5m，方向沿斜面向上．
因?yàn)椤鱰-t₂=0.5s，所以第二顆子彈擊中木塊前，木塊上升到最高點(diǎn)P₁后又會(huì)向下加速0.5s，下滑距離為s₃=s₁=0.5m，
且被第二顆子彈擊中前瞬間的速度大小為：v₂=v₁=2m/s（方向沿斜面向下），
所以之后過程與第一顆子彈擊中后過程相同，即再次上滑到最高點(diǎn)P₂的位移大小仍為：s₄=s₂=4m，
總位移大小仍為：L₂=L₁=3.5m，方向仍沿斜面向下，
由此可知，第二顆子彈擊中木塊后，木塊上升至最高點(diǎn)離斜面B點(diǎn)距離為：BP=BC-（L₁+L₂）=3m．
（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：
兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能和木塊在斜面上滑行時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)能．
兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能為：
Q1=3[（$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$Mv₁²）-（$\frac{1}{2}$mu²-$\frac{1}{2}$Mv₁²）]，代入數(shù)據(jù)解得：Q₁=10410J
全過程木塊在斜面上滑行的總路程為：s=BC+6s₁=13m，
那么木塊在斜面上滑行時(shí)所產(chǎn)生的熱量為：Q₂=μMgscosθ=26J，
則全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量為：Q=Q₁+Q₂=10436J；
答：（1）第一顆子彈從木塊中穿出時(shí)木塊的速度大小為8m/s，方向沿斜面向上．
（2）第二顆子彈穿出木塊后，木塊上升最高點(diǎn)離斜面B點(diǎn)還有3m；
（3）子彈、木塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是10436J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，關(guān)鍵理清運(yùn)動(dòng)過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．