Question

【題目】如圖甲所示，一輕質(zhì)彈簧左端固定在墻壁上，右端與置于水平面上的質(zhì)量為m的小滑塊相連。在以下的討論中小滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，取彈簧原長(zhǎng)時(shí)彈性勢(shì)能為0，且空氣阻力可忽略不計(jì)。

（1）若水平面光滑，以彈簧原長(zhǎng)時(shí)小滑塊的位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立水平向右的坐標(biāo)軸Ox，如圖甲所示。

①已知彈簧的勁度系數(shù)為k，請(qǐng)寫出彈簧彈力F與小滑塊所在位置坐標(biāo)x的關(guān)系式，并借助F-x 圖像確定出將小滑塊由O點(diǎn)緩慢拉到位置坐標(biāo)x的過程中，彈簧彈力所做的功。

②小滑塊在某輕質(zhì)彈簧的作用下，沿光滑水平面在O點(diǎn)附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，若從小物塊向右運(yùn)動(dòng)通過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D乙中定性畫出小物塊所受彈力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖像；

若測(cè)得該彈簧的彈性勢(shì)能Ep與其位置坐標(biāo)x的關(guān)系曲線如圖丙所示，其中Ep0和x0皆為已知量，請(qǐng)根據(jù)圖丙中Ep-x圖像提供的信息求解本題中彈簧的勁度系數(shù)k′。

（2）若水平面不光滑，小滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。如圖丁所示，彈簧的勁度系數(shù)為k，O為彈簧原長(zhǎng)位置，以距O點(diǎn)右側(cè) 的O′為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正方向建立坐標(biāo)軸O′x′。將小滑塊沿水平面向右拉到O′右側(cè)的P點(diǎn)，由靜止釋放小滑塊，小滑塊可以在水平面上往復(fù)運(yùn)動(dòng)并最終停下。已知重力加速度為g，并可認(rèn)為滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力大小相等。

①證明小滑塊被釋放后第一次向左的運(yùn)動(dòng)的過程中，其受力特點(diǎn)符合以O′為平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力條件。并分析如果小滑塊在O點(diǎn)最左方停不住，則O到P點(diǎn)距離應(yīng)滿足什么條件；

② 若小滑塊被釋放后能第2次經(jīng)過O點(diǎn)而不能第3次經(jīng)過O點(diǎn)，試分析說明O′到P點(diǎn)距離又應(yīng)滿足什么條件。

Answer 1

【答案】(1) ①-kx2 ,②圖見解析 (2) ①l≥,②≤l≤

【解析】

（1）①彈力與x的關(guān)系：

F=-kx

因?yàn)?/span>F-x圖像是過原點(diǎn)的直線，則彈簧彈力所做的功

②如圖1所示；

因

則

（2）①

即小滑塊第一次向左運(yùn)動(dòng)過程的受力情況與以O′為平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力相同。

對(duì)于小滑塊由P點(diǎn)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)的過程，假設(shè)其在最左端時(shí)，其距O點(diǎn)的距離為l1，由功能關(guān)系得：

即：

解得：

若小滑塊速度為零而停不住，則應(yīng)有：

kl1＞μmg

將l1代入得：

②設(shè)小滑塊速度為零時(shí)距O點(diǎn)的距離為l2，對(duì)其由O點(diǎn)左側(cè)最大位移處向右運(yùn)動(dòng)至速度減為零的過程，由功能關(guān)系得：

解得：

若小滑塊到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度為零，則l2=0，則

滑塊能第二次經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)滿足條件是

同理，小滑塊在O點(diǎn)右側(cè)速度為零時(shí)距O點(diǎn)的距離為l3，對(duì)其由O點(diǎn)右側(cè)最大位移處向左運(yùn)動(dòng)至速度減為零的過程，滿足

則若小滑塊到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度為零，則32=0，則

滑塊不能第三次經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)滿足條件是

O′到P點(diǎn)距離應(yīng)滿足的條件為

≤l≤。