Question

17．如圖所示，O點(diǎn)距水平地面高度為H=3m，不可伸長的細(xì)線一端固定在O點(diǎn)另一端系一質(zhì)量m=2kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一根水平細(xì)線OA一端固定在墻上A點(diǎn)，細(xì)線OB與豎直方向的夾角θ=37°，l＜l_AB，且l＜H，g取10m/s²，空氣阻力不計(jì)．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，結(jié)果可用根式表示．）
（1）若只剪斷細(xì)線AB，求在剪斷細(xì)線AB的瞬間，細(xì)線OB上的張力T_OB及小球的加速度大小a；
（2）若先剪斷細(xì)線AB，當(dāng)小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)再瞬間斷開OB，小球最終落地，求OB的長度l為多長時(shí)，小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)水平距離是多少？

Answer 1

分析 （1）剪斷細(xì)線AB的瞬間，沿OB方向的合力為零，垂直O(jiān)B方向的合力產(chǎn)生加速度，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度大�。�
（2）當(dāng)瞬間斷開OB，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的處理規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，從而確定當(dāng)長度取何值時(shí)，水平距離最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）剪斷細(xì)線AB的瞬間，小球開始做豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度為零，所以沿徑向的加速度為零，只有沿切向的加速度．由牛頓第二定律有：
徑向：T_OB-mgcosθ=0，
切向：mgsinθ=ma，
代入數(shù)據(jù)解得：T_OB=16N，a=6m/s²．
（2）小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過程中，根據(jù)機(jī)械能定恒得：
$mgl（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得：${v}_{2}=\sqrt{2gl（1-cosθ）}$．
由于OB線斷開后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則時(shí)間t為：
t=$\sqrt{\frac{2（H-l）}{g}}$，
平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：x=${v}_{2}t=2\sqrt{l（H-l）（1-cosθ）}$，
當(dāng)l=$\frac{H}{2}$=1.5m時(shí)，x有最大值為：${x}_{max}=\frac{3}{5}\sqrt{5}m≈1.34m$．
答：（1）細(xì)線OB上的張力為16N，小球的加速度大小為6m/s²；
（2）OB的長度l為1.5m時(shí)，小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)水平距離是1.34m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒與平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，第二問對(duì)數(shù)學(xué)的要求較高，通過平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和機(jī)械能守恒求出水平位移的表達(dá)式是關(guān)鍵．