Question

17．如圖所示，直角坐標(biāo)系xoy位于豎直平面內(nèi)，在$-\sqrt{3}$m≤x≤0的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=4.0×10^-2T、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左邊界與x軸交于P點(diǎn)；在x＞0的某區(qū)域內(nèi)有電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=3.2×10⁴N/C、方向沿y軸正方向的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其寬度d=2m．一質(zhì)量m=4.0×10^-25kg、電荷量q=-2.0×10^-17C的帶電粒子從P點(diǎn)以速度v=4.0×10⁶m/s，沿與x軸正方向成α=60°角射入磁場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)最終通過(guò)x軸上的Q點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），不計(jì)粒子重力．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和時(shí)間；
（2）當(dāng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合時(shí)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）若只改變上述電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，要求帶電粒子仍能通過(guò)Q點(diǎn)，試討論電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′與電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)x′的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出半徑，作出軌跡，由幾何知識(shí)找出圓心角，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，求出粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為θ，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（3）討論當(dāng)0＜x′＜4m時(shí)，Q點(diǎn)在電場(chǎng)外面右側(cè)，畫(huà)出軌跡，研究速度偏向角，求出橫坐標(biāo)x′與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′的函數(shù)關(guān)系．
當(dāng)4m≤x′≤6m時(shí)，Q點(diǎn)在電場(chǎng)里，畫(huà)出軌跡，研究偏轉(zhuǎn)距離y，求出橫坐標(biāo)x′與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′的函數(shù)關(guān)系

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律
有  $qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：r=2m  
如圖1所示軌跡交y軸于C點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作v的垂線交y軸于O₁點(diǎn)，
由幾何關(guān)系得O₁為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，且圓心角為60°．
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{T}{6}=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}$
代入數(shù)據(jù)解得：$t=\frac{π}{6}×{10^{-6}}s=5.23×1{0^{-7}}s$
（2）帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)垂直進(jìn)入電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為θ，如圖1

則：$tanθ=\frac{v_y}{v}=\frac{qEd}{{m{v^2}}}=\frac{1}{5}$
設(shè)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x則：
$tanθ=\frac{1}{x-1}$
由上兩式解得：x=6m．
（3）電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)為x′．
①當(dāng)0＜x′＜4m時(shí)，如圖2，

設(shè)粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為θ′，
則：$tanθ'=\frac{E'qd}{{m{v^2}}}$
又：$tanθ'=\frac{1}{5-x'}$
由上兩式解得：$E'=\frac{16}{5-x'}×{10^4}N/C$
②當(dāng)4m≤x′≤6m時(shí)，如圖3，

有  $y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{{E'q{{（6-x'）}^2}}}{{2m{v^2}}}$
將y=1m及各數(shù)據(jù)代入上式解得：$E'=\frac{64}{{{{（6-x'）}^2}}}×{10^4}N/C$
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為2m，時(shí)間為5.23×10^-7s；
（2）當(dāng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合時(shí)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6m；
（3）若只改變上述電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，要求帶電粒子仍能通過(guò)Q點(diǎn)，當(dāng)0＜x′＜4m時(shí)，E′=$\frac{16}{5-x′}×1{0}^{4}N/C$；當(dāng)4m≤x′≤6m時(shí)，E′=$\frac{64}{{（6-x′）}^{2}}×1{0}^{4}N/C$．

點(diǎn)評(píng) 本題是磁場(chǎng)和電場(chǎng)組合場(chǎng)問(wèn)題，考查分析和解決綜合題的能力，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于較難題目．