Question

8．將一擺球拉至水平位置釋放，在蕩至最低點(diǎn)的過程中，細(xì)線與水平方向夾角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，小球在豎直方向的速度最大．

Answer 1

分析 擺球向下擺動(dòng)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得到小球豎直方向的速度與夾角的關(guān)系，再求解即可．

解答 解：設(shè)細(xì)線與水平方向夾角為α?xí)r，小球在豎直方向的速度為v．細(xì)線的長度為L．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  mgLsinα=$\frac{1}{2}m（\frac{v}{cosα}）^{2}$
則得 v²=2gLcos²αsinα=2gL（1-sin²α）sinα
求導(dǎo)得：（v²）′=2gL[（-2sinαcosα）sinα+（1-sin²α）cosα]
當(dāng)（v²）′=0，解得α=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故當(dāng)細(xì)線與水平方向夾角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，小球在豎直方向的速度最大．
故答案為：arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值，是常用的函數(shù)法．