Question

16．如圖所示，在x軸上方有水平向左的勻強(qiáng)電場E₁，在x軸下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場E₂，且E₁=E₂=$\frac{mg}{q}$，在x軸下方的虛線（虛線與y軸成45°）右側(cè)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．有一長為L的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O′點(diǎn)且可繞O′點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，另一端拴有一質(zhì)量為m的小球，小球帶電荷量為+q，OO′間距也為L且與x 軸成45°，先將小球放在O'正上方繩恰好伸直后靜止釋放，當(dāng)小球進(jìn)入磁場時(shí)的瞬間繩子被剪斷．求：
（1）小球由靜止釋放到繩繃緊前后的瞬時(shí)速度分別為多少？
（提示：繩繃緊后沿繩方向的分速度將損失）
（2）小球剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的速度大小和方向．
（3）小球從進(jìn)入磁場到第一次打在x軸運(yùn)動的時(shí)間及此時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在繩沒有拉直之前，小球做的是勻加速直線運(yùn)動，位移的大小為繩的長度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律可以求得運(yùn)動的時(shí)間；當(dāng)繩被拉直時(shí)，小球的沿著繩方向的速度變?yōu)榱�，只有垂直繩方向的速度的大小，由速度的合成與分解求出繩子拉直后小球的速度；
（2）繩子繃直后在電場的作用下運(yùn)動，根據(jù)動能定理可以求得小球進(jìn)入磁場是的速度的大小；
（3）小球在磁場中做的是圓周運(yùn)動，根據(jù)圓周運(yùn)動的周期公式可以求得小球的在磁場中運(yùn)動的時(shí)間，小球離開磁場后，進(jìn)入電場在做勻速直線運(yùn)動，由此可以求得小球的運(yùn)動的總時(shí)間．

解答 解：（1）小球一開始受到的合力為F=$\sqrt{（mg）^{2}（q{E}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2}$mg，方向與豎直方向成45°角斜向左下方，小球做初速度為了你的勻加速直線運(yùn)動，繩子第一次剛拉直還沒有開始繃緊時(shí)，輕繩處于水平位置，小球的位移為：$\sqrt{2}$L，對小球，由動能定理得：
$\sqrt{2}$mg×$\sqrt{2}$L=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得：v=2$\sqrt{gL}$；
繩子繃緊時(shí)沿繩子方向的分速度變?yōu)榱悖?br />小球的速度為：v₂=vcos45°=$\sqrt{2gL}$；
（2）從輕繩繃緊到小球剛進(jìn)入磁場過程，
由動能定理得：$\sqrt{2}$mg•（1-cos45°）L=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：v′=$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$，小球進(jìn)入磁場時(shí)受到方向與輕繩垂直，
與y軸負(fù)方向（x軸正方向）成45°角；
（3）帶電小球垂直于磁場邊界進(jìn)入有磁場的區(qū)域，
小球所受電場力：做勻速圓周運(yùn)動，
電場力：F₂=qE₂=mg，方向豎直向上，
小球所受重力豎直向下，重力與電場力合力為零，
小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，
由牛頓第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m\sqrt{2\sqrt{2}gL}}{qB}$，
帶電小球運(yùn)動半個(gè)圓周后，從磁場邊界射出有磁場的區(qū)域，
然后做勻速直線運(yùn)動，勻速直線運(yùn)動的距離為d．
由幾何關(guān)系得：d=2r，
小球在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
設(shè)小球從進(jìn)入有磁場的區(qū)域到第一次打在戈軸上經(jīng)過的時(shí)間為t．
則：t=$\frac{1}{2}$T+$\frach7dfurh{v′}$=$\frac{（2+π）m}{qB}$；
由幾何知識可知，小球到達(dá)x軸上時(shí)距O點(diǎn)的距離：
s=$\frac{2r}{cos45°}$=$\frac{4m\sqrt{\sqrt{2}gL}}{qB}$，打在x軸上的坐標(biāo)：（-$\frac{4m\sqrt{\sqrt{2}gL}}{qB}$，0）；
答：（1）小球由靜止釋放到繩繃緊前的速度為2$\sqrt{gL}$，繩子繃緊后的瞬時(shí)速度為：$\sqrt{2gL}$；
（2）小球剛進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)的速度大小為：$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$，方向：與y軸負(fù)方向成45°角；
（3）小球從進(jìn)入磁場到第一次打在x軸運(yùn)動的時(shí)間為：$\frac{（2+π）m}{qB}$，此時(shí)的坐標(biāo)為：（-$\frac{4m\sqrt{\sqrt{2}gL}}{qB}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了帶電小球在復(fù)合場中的運(yùn)動，正確受力分析、分析清楚小球的運(yùn)動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，作出小球的運(yùn)動軌跡，應(yīng)用動能定理、運(yùn)動的合成與分解，牛頓第二定律可以解題；小球運(yùn)動過程復(fù)雜，本題有一定的難度，是一道難題．