Question

15．一個平行板電容器，間距為d，電壓為U，上極板帶正電，下極板帶負(fù)電，有正交于電場的磁場，垂直紙面向里，下極板有一個電子（e，m），靜止釋放，其運動軌跡恰與上極板相切，求：
（1）磁場的磁感應(yīng)強度大��；
（2）當(dāng)電子運行到上極板時，其軌跡的曲率半徑（等效的勻速圓周運動的半徑）．

Answer 1

分析 （1）可以把電子的運動分解為向右的勻速直線運動與在豎直方向沿順時針方向的勻速運動的合運動，根據(jù)勻速運動應(yīng)用平衡條件求出電子的速度，電子運動軌跡與上板相切，求出電子的運動軌道半徑，然后求出磁感應(yīng)強度．
（2）電子運動到最高點時求出電子的速度，應(yīng)用牛頓第二定律求出電子的加速度，然后應(yīng)用向心加速度公式求出電子的曲率半徑．

解答 解：（1）可以把電子的運動分解為水平向右速度為v的勻速直線運動與豎直平面內(nèi)沿順時針方向的勻速圓周運動，
電子在水平方向向右做勻速直線運動，電子受力情況與速度如圖所示，
電子在水平方向向右做勻速直線運動，由平衡條件得：qvB=qE，解得：v=$\frac{E}{B}$=$\frac{U}{dB}$；
電子另一個分運動是在洛倫茲力作用下的勻速圓周運動，電子運動軌跡恰與上極板相切，
則電子做圓周運動的軌道半徑：r=$\fracn5tnq2q{2}$，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{mU}{e{B}^{2}d}$=$\fracmvmz54g{2}$，解得：B=$\frac{1}y1e4g54$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$；
（2）電子做圓周運動運動到最高點時，圓周運動的速度方向水平向右，
此時電子的合速度：v′=v+v=2v，所受合力：F=2evB-eE=eE=$\frac{eU}lmz2ac2$，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{eU}{md}$，加速度：a=$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
電子運行到上極板時其軌跡的曲率半徑：R=$\frac{v{′}^{2}}{a}$=$\frac{4{v}^{2}md}{Ue}$=$（{\frac{U}{Bd}）}^{2}$•$\frac{4md}{Ue}$=$\frac{4mU}{e{B}^{2}d}$；
答：（1）磁場的磁感應(yīng)強度大小為$\frac{1}oyastgt$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$；
（2）當(dāng)電子運行到上極板時，其軌跡的曲率半徑為$\frac{4mU}{e{B}^{2}d}$．

點評 本題考查了電子在電場與磁場中的運動，電場力對電子做正功，電子速率不斷增大，電子在磁場中受到洛倫茲力作用使其偏轉(zhuǎn)，電子的運動是螺旋線運動，電子運動較復(fù)雜，用常規(guī)思路無法解題，巧妙地運用運動的合成與分解的觀點即可解題，本題難度很大，是一道難題．